Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
выполняется,
\
\
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
185
Если нам необходимо знать не только радиус кривизны, но также и радиус пятна гауссова пучка, возбуждаемого в резонаторе, мы можем получить последнюю величину непосредственно, используя довольно утомительную процедуру вычислений, описанных в § 8 настоящей главы (см. фиг. 3.17). Однако, по всей вероятности, лучше составить сначала матрицу полного прохода, а затем вычислить ее собственные функции. Действуя таким образом, мы получим две полезные проверки: во-первых, проверим факт устойчивости резонатора и, во-вторых, выясним, согласуется ли полученное значение R с заданной формой выходного зеркала.
Задача 5
Требуется рассчитать короткий лазер с отпаянной трубкой на двуокиси углерода для генерации на одной частоте и достаточно низком уровне мощности. Из предварительных соображений предполагают, что он должен быть построен на основе устойчивого резонатора длиной 50 см и иметь на выходе пучок параллельных лучей. Предполагается также, что В (фазовый угол в выражении для собственного значения) должен быть равен одному радиану. Какую кривизну зеркала вы считаете оптимальной для такой системы и какого диаметра трубку (приблизительно) необходимо выбрать?
Решение
Поскольку мы имеем дело с устойчивым резонатором, то, чтобы на его выходе был коллимированный пучок, мы должны использовать плоское выходное зеркало. Следовательно, в стандартную матрицу для резонатора, образованного двумя зеркалами, мы можем подставить значения Т = 0,5 и Pi = 0, выражая соответствующие единицы измерения в метрах. При этом получим (см. § 4 настоящей главы)
Как и следовало ожидать, два элемента, расположенные на главной диагонали, одинаковы и, кроме того, матрица унимо-дулярна. Теперь мы найдем Р\, исходя из условия А + D = = 2 — Р\ = 2 cos 0, где угол 0 = 1 рад. Следовательно, Рх = = 0,92 и /"! = 2/Р\ = 2,17 (радиус кривизны в метрах).
1 —Р{Г — 2Р2Т + Р^Т2 Т (2 - Р{Г) -Pi-P% + PiP*T 1 -Р{Г
]
-л 1-4 л.'
186
Глава 3
При этом значении кривизны зеркала матрица полного прохода численно записывается в виде
Необходимо отметить, что вплоть до этого момента мы не принимали во внимание длину волны лазерного излучения. Однако, чтобы выбрать диаметр трубы, мы должны знать геометрию основной гауссовой моды, которая будет возбуждаться в процессе генерации.
Используя формулу для радиуса перетяжки w0, находим
Для конфокального параметра пучка Zo имеем
Следует заметить, что если тот же резонатор использовать для лазера, работающего в видимой области спектра, то радиус перетяжки пучка а»о будет приблизительно в четыре раза меньше, однако конфокальный параметр пучка го останется тем же.
Чтобы найти подходящий размер диаметра разрядной трубки, нам необходимо учесть, что на другом конце резонатора луч будет несколько шире. Радиус пятна в этой области определяется формулой
Вследствие такого небольшого расширения пучка его максимальный диаметр, измеренный на уровне 1/е2, почти точно равен 4 мм.
В большинстве газовых лазеров, чтобы уменьшить дифракционные потери и учесть некоторую неизбежную расстройку, диаметр разрядной трубки делают по крайней мере в два раза больше диаметра пучка, определяемого на уровне 1/е2. В случае лазера на двуокиси углерода стенки разрядной трубки могут вызывать нежелательные наклонные отражения, а также способствовать некоторому охлаждению газа, вызывая при этом увеличение коэффициента усиления. Кроме того, полный газовый объем может также быть важен с точки зрения продолжительности работы отпаянной системы.
В рассматриваемом случае разумно выбрать разрядную трубку с внутренним диаметром 10 мм; однако, по-видимому, лучше использовать трубку большего диаметра, применяя диафрагму диаметром 10 мм.
0,54 0,77
-0,92 0,64
]
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
187
Задача 6
Как показано на фиг. 3.22, коллимированный лазерный пучок диаметром 2 см фокусируется простой стеклянной плоско-¦ выпуклой линзой с оптической силой 10 диоптрий и толщиной вдоль оптической оси 1 см. Показатель преломления материала линзы 1,5. Используя параксиальную оптику, вычислить положение любого сфокусированного изображения, образованного в результате внутренних отражений пучка от поверхностей линзы. Рассмотреть те изображения, которые образуются внутри стеклянной линзы.
Если поверхности линзы не просветлены и сферические аберрации и эффекты самофокусировки пренебрежимо малы, то на сколько интенсивность света в фокусе превышает интенсивность исходного параллельного пучка?
Решение
Обозначим через 91\ и матрицы, соответствующие преломлению луча на первой и второй поверхностях. Пусть 91\ и 31'2 — соответствующие матрицы отражения (здесь мы имеем в виду отражения с внутренней стороны стеклянной линзы). Наконец, пусть задана матрица ?Г, соответствующая перемещению пучка через слой стекла толщиной 1 см.
Матрица преобразования параметров луча на первой и второй поверхностях линзы без учета внутренних отражений записывается в виде
м0=
С другой стороны, если луч распространяется в направлении +г, испытав п внутренних отражений, то матрица преобразо-
