Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение
Выберем в качестве единицы измерения длины см для обеих матриц 9L и и будем решать задачу следующим образом. За-
оп, 0П2
I I
Фиг. 2.10
Матричные методы в параксиальной оптике
59
пишем Я-матрйцу оптической поверхности:
г 1 °1=г 1 °1_г 1 °i.
L-fe-nO/r lj L(-l,56+l)/2,8 ij L —0,2 ij
Если изображение находится на расстоянии X см справа от вершины преломляющей поверхности, то цепочка матриц в направлении от изображения назад к предмету имеет вид
[I Х/п1 Г 1 01Г1 151
"Но . Л-0,2 .Но |J =
Промежу- Преломляю- Промежуток от щая ток от
изображе- поверхность поверх-ння до ностн до
поверх- предмета
ности
_Г1 Я/1,561Г 1 151 Г1
“ЧО 1 J L-0,2 -2 J L
Проверка
det(Af) = (AD - ВС) = -2 + (Х/3,9) + 3 - (Х/3,9) = 1.
Чтобы выполнялось соотношение, связывающее предмет с его изображением, верхний правый элемент В должен быть равен нулю:
16 —<ш-=0’
Таким образом, изображение находится внутри стержня на расстоянии 11,7 см от вершины сферической поверхности. Поперечное увеличение дается либо величиной А, либо величиной 1/D и равно —0,5. Следовательно, изображение представляет собой перевернутую стрелку размером (0,5*2) см = 1 см.
Задача 2
Оба конца стеклянного цилиндрического стержня длиной
2,8 см имеют форму выпуклой сферической поверхности радиусом 2,4 см. Предмет в виде стрелки длиной 2 см помещен на оси стержня в воздухе на расстоянии 8 см от левого конца стержня (фиг. 2.11). Требуется найти положение и размер окончательного изображения.
- Х/7,8 15 -0,2
- Х/0,78' -2
60
Глава 2
ОП,
on*
Фиг. 2.11
Решение
Если окончательное изображение расположено справа на расстоянии X см от правого конца стержня, то цепочка матриц записывается в виде
П=4*№
Проие- Правый конец Длина Левый конец Промежуток от стержня стержня стержня жуток от
изобра- стержня
жения до до
стержня предмета
1 0
0,25
8
-1
Г1 Х1Г 1 01Г 1 1,751Г 1 ОТ Г 1 81
“LO IJL-0,25 1J LO 1 J L —0,25 lJLO lj
Г1 Х1Г 1 1,75 1Г 1
L 0 1 J L—0,25 0,5625 J L -0,25
Г1 XT Г 0,5625 6,251
LO 1 J L —0.391 -2,56 J'
]“
Следовательно,
Г А В ] = Г 0,5625 - 0.391ЛГ 6,25 - 2,56* 1
Lc d\ L -0,391 -2,56 J‘
Чтобы выполнялось соотношение связи между предметом и его изображением1)» должно выполняться равенство 2,56Х= 6,25.
*) Соотношение связи между предметом и его изображением определяется равенством В = 0. Это означает, что даннан матрица связывает векторы одиого и того же луча в плоскости предмета и в плоскости изображения.— Прим. перев.
Матричные методы в параксиальной оптике
61
ОП,
0П2
Г*7
л = /,4
Фиг. 2.12
Следовательно, X — 2,44 см (справа от стержня). Увеличение 1/D = —1/2,56 = —0,39. Следовательно, изображение стрелки перевернуто и его размер равен (2-0,39) см == 0,78 см.
Задача 3
Параллельный пучок света проходит через прозрачный сферический шарик диаметром 2 см из органического стекла, показатель преломления которого равен 1,4 (фиг. 2.12). В какой точке за шариком свет соберется в фокус?
Решение
Если мы выберем выходную опорную плоскость ОПг расположенной на расстоянии X см справа от шарика, то цепочка матриц запишется в виде
Воздуш-
ный
промежу-
ток
Правая Промежуток Левая
поверхность между поверхность
поверхностями
Г1 XIГ 0,429 1,4291 Ч0 1 J L —0,571 0,429 J— 0,429 — 0,571X 1,429 + 0,429*
]
Г 0,429 - 0,5 L -0,571
0,429
62
Глава 3
Чтобы параллельный пучок света собрался в фокус в ОПа, матричный элемент А должен быть равен нулю:
0,571* = 0,429, X = 0,75.
По-другому такой же результат можно получить непосредственно из матрицы для шарнка
Г 0,429 1,4291 L-0,571 0,429 J'
Поскольку Vi — 0, мы имеем
[?.Н2 ЖНс*]
[?.]
Следовательно, расстояние, на котором луч
пересечет ось,
равно —пуз/Уг = —А/С справа от шарнка, т. е. 0,429/0,571 = » 0,75 см.
Замечание
Этот расчет относится только к центральному параксиальному участку пучка лучей — остальная часть пучка даст сферическую аберрацию.
3«дачв 4
Диапозитив размером 5 см расположен на расстоянии 3 м от экрана (фиг. 2.13). Каково должно быть фокусное расстояние линзы и где ее следует поместить, чтобы даваемое этой линзой изображение диапозитива на экране имело размер 100 см?
0П,
I
I
I
Дщщозшти [~
1
0П,
5-Х
\|
Экран
Матричные методы в параксиальной оптике
63
Решение
Хотя размеры предмета и изображения даны в сантиметрах, в данном случае для вычисления матричных элементов более удобно использовать метры. Потребуем, чтобы линза была тонкой и положительной (собирающей). Оптическую силу Р этой линзы будем измерять в обратных метрах. Предположим, что мы поместили линзу на расстоянии X метров от щели и (3 — X) метров от экрана. Произведение матриц, соответствующее цепочке элементов от экрана до щели, записывается в виде
Одиночная линза всегда дает перевернутое действительное изображение действительного предмета; поэтому увеличение следует взять со знаком минус, т. е. —100/5 = —20. Следовательно, в приведенной выше матрице имеем А = 1 ID — —20 и В = 0, т. е. выполняется соотношение связи между предметом и его изображением. Поскольку D = 1 — РХ — —0,05, то из равенства 5 = 0 находим
