Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
U-(U-K) + PU(U-K) = О,
откуда
к—йГГТ + и.
Следовательно,
dK (PU-* 1)(1) — UP , , , 1
dU ~ (PU- l)s "* (PU -1)2 •
Для того чтобы производная dK/dU обратилась в нуль, мы должны иметь либо PU — 1 = 1, т. е. PU = 2, либо PU— 1 =
3*
68
Глава 2
*=—1, т. е. PU = О (тривиальный случай). Поскольку по предположению и Р, и U являются положительными величинами, то для дальнейшего анализа случая PU = 2 необходимо рассмотреть вторую производную
d*K _ d Г -1 I — (—2) Р 2Р
dU1 dU L(W/—1)JJ (PU — l)s (PU- l)s ‘
В случае PU = 2 знаменатель этого выражения равен единице, а числитель положителен. Стало ‘быть, производная d?K/dU2 положительна, и величина К должна проходить через минимум. Подставляя в выражение для К значение U = 2/Р, находим
где f = 1 /Р — фокусное расстояние линзы.
§8. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЦ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим положительную систему линз, помещенную в воздушное пространство. Прежде всего выберем две удобно расположенные опорные плоскости системы: одну, ОП1, у входной поверхности оптической системы и другую, ОП2, у выходной поверхности. Первую из них назовем входной опорной плоскостью, а вторую — выходной опорной плоскостью. Матричные элементы А, В, С и D должны удовлетворять уравнению
Предмет известной величины будем помещать на различных расстояниях слева от ОП1 и регистрировать величину и положение получающегося каждый раз действительного изображеиия.
В общем случае смещение в положительном направлении вдоль оси z от предмета к ОП] обозначим через R, а смещение в положительном направлении вдоль оси г от ОПз к действительному изображению — через S. Мы будем смещать предмет таким образом, чтобы величины R и S каждый раз оставались положительными.
Цепочка матриц преобразования лучей от плоскости изображения назад к плоскости предмета имеет вид
2/Р
+ 2/Р = 4/Р = 4/,
г 1 siim ля + ят "“Lo lJLc СЯ + ?>_|“
Л + SC AR + B + S(CR + D)
CR + D
]
]¦
Матричные методы в параксиальной оптике
69
Относительно этой матрицы нам известно, что ее определитель равен единице и что ее верхний правый элемент в силу соотношения связи между предметом и его изображением равен нулю. Верхний левый элемент Л+SC общей матрицы представляет поперечное увеличение, а нижний правый элемент CR-\-D равен величине, обратной поперечному увеличению, которую мы будем обозначать через а.
Величины, которые можно экспериментально измерить, — это расстояния R и S и отношение высоты предмета к высоте изображения, равное а = CR + D. (Следует заметить, что если изображение перевернуто, как часто бывает на практике, то а отрицательно.)
Еслн значения а, измеренные при нескольких расстояниях R, представить в виде графика зависимости от R, то получим прямую, пересекающую ось а при a — D, тангенс угла которой равен С. Таким образом определяются величины С и D.
Приравнивая в матрице М верхний правый элемент нулю, получаем AR + В «= —5 (CR + ?))*= —Sa = р, где мы ввели новую величину р, численные значения которой нам известны. Если теперь построить график зависимости р от R, то величина А будет определять наклон соответствующей прямой, пересекающей ось р в точке р = В. После того как все четыре матричных элемента будут найдены, следует удостовериться в том, что определитель AD — ВС приблизительно равен единице.
8.1. Отрицательная система линз
Если система, параметры которой нужно измерить, является рассеивающей (отрицательной), то приходится использовать дополнительную линзу, для того чтобы образовать действительное изображение, размер и местоположение которого справа от ОП] заданы. Путем подбора подходящего диапазона отрицательных значений R можно получить действительное изображение справа от ОП2 и измерить его величину. Однако эта методика весьма неудобна.
8.2. Иммерсионные системы
Экспериментальное определение параметров иммерсионных оптических систем, которые характеризуются тем, что в них слева от ОП] находится среда с показателем преломления пи а справа от ОП2— среда с показателем преломления п2, является весьма сложной процедурой. Однако что касается матричного описания системы, то все, что необходимо сделать, — это заменить расстояния R и S там, где они встречаются, например в матрицах перемещения, их приведенными значениями
п
Глава i
Rln-i и S/n2. Когда вычисляется новая, с учетом этой подстановки, матрица преобразования лучей от изображения к предмету, ее нижний правый элемент по-прежиему будет соответствовать измеряемому значению величины а.
S 9. РАСПОЛОЖЕНИЕ КАРДИНАЛЬНЫХ ТОЧЕК СИСТЕМЫ
Предположим, что для данной системы либо путем расчета, дибр экспериментально с помощью описанного выше метода мы
нашли матрицу М
[с 2].
которая связывает параметры
луча в выбранной выходной плоскости ОПг с его параметрами во входной плоскости ОПь Относительно этих опорных плоскостей будем искать местоположение двух фокальных точек, главных плоскостей единичного поперечного увеличения и сопряженных (или узловых) плоскостей единичного углового увеличения. Возьмем самый общий случай. Предположим, что rii и я2 —соответственно показатели преломления сред, расположенных слева и справа от системы.
