Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы сделать наш элементарный анализ параксиальных преломляющих систем полным, выясним, как будет выглядеть Г А В1
матрица I ^ ^ I • если преобразование луча рассматривать не
между ОП1 и ОП2, а между а) двумя главными плоскостями или 0) двумя фокальными плоскостями систеадц.
7*
Глава 2
а) Для промежутка между двумя главными плоскостями матрица преобразования луча записывается в виде
{здесь мы учли, что (AD — ВС) — 1J. Таким образом, для промежутка между двумя главными плоскостями матрица преломления совпадает с матрицей преломления тонкой линзы, оптическая сила которой Р *= —С =*= 1 Jf. Как и следовало ожидать, существует соотношение связи между предметом в плоскости ОЙ[ И его изображением в плоскости ОПа с единичным коэффициентом поперечного увеличения.
б| Для промежутка между двумя фокальными плоскостями матрица преобразоиания луча записывается следующим образом:
__Г 1 — 1/с 1 ГО — 1/С 1 го /1
“Lo 1 JLc о J ic о J i — i// oj'
Эта матрица описывает хорошо известный результат: высота луча во второй фокальной плоскости зависит только от угла луча в первой фокальной плоскости, в то время как угол луча во второй фокальной плоскости зависит только от высоты луча в первой. Кроме того, если расстояние г\ от Предмета до пер*
к тКс х т]
От Hi до ОП* От ОП2 От ОП]
до ОП) до Hi ¦)
[
ГI — Л/С-DJC1
Lo 1 1 г
От F2 до OFIj От ОП* От OTIi до Fi ’)
От ОП* От до ОП]
]
до ОП]
») Заметим, что здесь происходит изменение з«?кв,
Матричные методы в параксиальной оптике
75
вой фокальной плоскости, измеряемое влево от фокуса F\, записать в виде уi/V\, а расстояние z2 от изображения до второй фокальной плоскости — в виде г/2/^2. то сразу можно получить, что
Ziz2 = (yi/V\) (y2iv2) = — f2 (уравнение Ньютона).
Кроме того, как и следовало ожидать, равенство нулю диагональных элементов матрицы отражает тот факт, что ОП1 и ОПг совпадают с фокальными плоскостями системы. Если эквивалентные фокусные расстояния не изменяются при таком преобразовании матрицы, то матричный элемент С остается тем же самым и, для того чтобы матрица оставалась унимодулярной, ее правый верхний элемент должен быть равен —1/С.
§ 10. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Задача 8
Стеклянная полусфера радиусом г используется в качестве линзы (показатель преломления стекла ti). Через эту полусферу проходит пучок лучей, почти совпадающих по направлению с ее оптической осью. Показать, что если полусфера обращена плоской поверхностью в левую сторону, то вторая главная точка совпадает с точкой пересечения выпуклой поверхности с осью (с ее вершиной). Показать также, что первая главная точка расположена внутри линзы на расстоянии г/п от плоской поверхности и что фокусное расстояние линзы равно г/(п — 1) (фиг. 2.18).
Решение
Если опорные плоскости поместить одну на плоской поверхности полусферы, а другую параллельно ей в вершине выпуклой
Фиг. 2.18
re
Глава 2
части поверхиостн, то цепочка матриц запишется в виде
[4- Пи :н4* 3-
Преломление на Линза с Прелом-крнвой поверхно- приведен- ленне на сти в ОП2 ной толщи- плоской вой поверхности в ОП1
(Несмотря на то что этот расчет очень прост, все же стоит проверить определитель.) Требуемые результаты для данного слу-' чая можно найти в правой колонке табл. 2.1. Расстояние от ОП2 до второй главной точки, равное (1 —А)/С, обращается в нуль. Расстояние от ОП, до первой главной точки равно
—f 1 А____?______— L.
С \п У I—(я—1)1 «'
Поскольку п > 1, это расстояние меньше толщины г полусферической линзы.
Наконец, фокусное расстояние рассматриваемой линзы, измеряемое в воздухе в любом направлении, равно —1/С = = г/(п- 1).
Задача 9
Тонкая положительная линза с фокусным расстоянием 10 см расположена на расстоянии 5 см от тонкой отрицательной линзы
ОП, ОП,
Фнг. 2Л8
Матричные методы в параксиальной оптике
77
с фокусным расстоянием —10 см (фиг. 2.19). Требуется найти эквивалентное фокусное расстояние всей системы и положение фокусов и главных плоскостей.
Решение
Предположим, что положительная линза расположена в левой части системы, а опорные плоскости совпадают с плоскостями линз. Выражая расстояния в метрах, а обратные фокусные расстояния в диоптриях, находим матрицу системы
Отрица- Промежуток Положитель-тельная между лин- иая лииза линза зами в ОП]
в ОП2
Следовательно,
Г Л ВI Г 0,5 0,05 I
Lc dJ = L-5 1,5 J
Проверяя определитель, имеем (AD — ВС) = (0,5) (1,5) +
+ (5) (0,05) = 1. Используя снова результаты, приведенные в табл. 2.1, приходим к выводу, что фокусное расстояние рассматриваемой комбинации линз должно составлять —1/С = = +0,2 м = 20 см (оптическая сила = +5 диоптрий).
Первый фокус расположен на расстоянии D/C = —0,3 м вправо от ОПь т. е. на расстоянии 30 см в левую сторону от тонкой положительной линзы. Поскольку фокусное расстояние системы, как мы нашли, равио 20 см, то первая главная плоскость должна располагаться слева в 10 см от положительной линзы. (Согласно формуле, приведенной в табл. 2.1, мы получаем, что расстояние вправо от ОП1 до Hi равно (D— 1 )/С = = 0,5/(-5) м.)
Второй фокус расположен справа от ОПг (от отрицательной линзы) на расстоянии —А/С —0,5/ (—5) = 0,1 м = 10 см. Теперь либо непосредственно, либо путем применения формулы (1 —А)/С находим, что вторая главная плоскость системы расположена на расстоянии 10 см слева от отрицательной линзы, или в 5 см слева от положительной линзы.
