Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, фокусное расстояние линзы составляет (1/7) м « 14 см.
X
1
]
Промежуток от экрана до линзы
Линза Проме-
жуток от линзы до щели
I 3 — X 0 1
][
1 X 1 -Р 1-PJU
]
Следовательно,
[с
1—3Р + РХ X + (3 — X) (1 - РХ)
]
1 -РХ
В — X — 0,05 (3 — X) = 0.
Следовательно,
1,05* = 0,05 • 3, откуда X « 0,15 м. Уравнение для D теперь принимает вид
1 — 0,15Р = —0,05, так что Р = +7.
Ответ
Линза должна иметь положительное фокусное расстояние, равное 14 см, и располагаться на расстоянии 15 см от диапозитива.
64
Глава 2
on,
0Лв
f,=+Scto,
f2=-tZm
доз* w
Pj=+12,5 M** V4#1*'7
L
Фиг. 2.14
Задача 5
Положительная (собирающая) линза с фокусным расстоянием +8 см установлена на расстоянии 6 см слева от отрицательной (рассеивающей) линзы с фокусным расстоянием —12 см. Слева от положительной линзы на расстоянии 24 см от нее помещен предмет высотой 3 см иа оси системы. Требуется найти положение изображения и его размер (фиг. 2.14).
Решение
При решении задачи будем пользоваться метрами и диоптриями. Оптическая сила положительной линзы равна +100/8 = = +12,8 диоптрий, а для отрицательной линзы (—100/12) = s= —8,33 диоптрий. Предположим, что изображение находится на расстоянии X метров справа от отрицательной линзы. Тогда цепочку матриц от изображения к предмету можно записать в виде
Проме- Отрица- Промежуток
жуток от тельная между
изобра- линза линзами
Положитель- Промежуток иая линза от положи-
жения до отрицательной лиизы
тельной линзы до предмета
Г 1 Х1Г1 0,061 г Lo lj 1.8,33 1,6 JL
1 0,24
-12,6 -2
]
Матричные методы в параксиальной оптика
65
Следовательно,
ГЛ Bl[l *1Г 0,25 0,12-1
Lc D]~lo 1 J L—10,42 -1 J
__Г 0,25 — 10,42* 0,12 -XI
-10,42 -1 J'
Для того чтобы выполнялось соотношение связи между предметом и его изображением, мы должны положить В = 0,12 —
— * = 0, откуда находим * = 0,12 м. Увеличение 1/D = —1. Следовательно, конечное изображение перевернуто, а его высота равна 3 см. Расположено это изображение справа от отрицательной линзы на расстоянии 12 см от нее.
Задача 6
Слева от тонкой линзы на расстоянии U от нее находится предмет, изображение которого образуется на расстоянии V слева от той же самой линзы (фиг. 2.15). Затем предмет смещают вдоль оптической оси влево на небольшое расстояние dU. Требуется определить соответствующее смещение изображения dV. Величина dV/dU называется продольным увеличением. Показать, что продольное увеличение равно квадрату поперечного увеличения.
Решение
(Заметим, что если формируется действительное изображение, то величина V будет иметь отрицательное значение; однако независимо от того, является ли тонкая линза положительной или
0П t
i
I
I
I
I
Фиг. 2.15
а Зак. 774
Глава 2
отрицательной, существует такое положение предмета на оси линзы, при котором его изображение является мнимым, т. е. величина V становится положительной. Заметим также, что и в этой, и в следующей задачах через V обозначено расстояние от линзы до изображения, а не оптический направляющий косинус.)
Цепочка матриц от изображения к предмету записывается в, виде
Промежуток Линза Промежу-от изобра- ток от
жеиия до линзы до
лиизы') предмета
Г1 -У1Г 1 и 1 n.+ W U-V + PUV1
10 1 JL-P 1 — PU 1*1 — Р 1 ~.PU J’
Для того чтобы удовлетворить соотношению связи между предметом н его изображением, нужно приравнять нулю правый верхний элемент U—VPUV последней матрицы. Следова-:Щ|ЬН0, : *¦ - -
V = И . U .
Y i -PU Дифференцируя это выражение, получаем
dv (1 - mm+t/p i W = — (Г-ЩГ—* (T-W
Как видно из правого нижнего элемента полученной матрицы, величина 1/(1 —PU) представляет собой поперечное увеличение, квадрат которого совпадает с нашим выражением для dVJdU. Для поперечного увеличения можно найти и другие выражения, а именно (1+PV) и V/U. (Следует заметить^ что в процессе
Получения данного решения мы определили основное соотноше-
ние между Р, U т V для тонкой линзы. Поскольку U — V + -f PJJV = О, то, разделив это выражение на UV н выполнив соответствующие преобразования, мы придем к хорошо известной формуле линзы
J_____1 р -1
U V I '
где f — фокусное расстояние лиизы.)
*) Здесь V имеет отрицательный знак, поскольку это расстояние отсчитывается вдоль оси z в отрицательном направлении.
Матричные методы в параксиальной оптике
67
ОП, 0Пг
Р
Фиг. 2.16
Задача 7
Требуется доказать следующее положение: расстояние между действительным предметом и его действительным изображением, образованным тонкой положительной линзой, не может быть меньше учетверенного фокусного расстояния линзы (фиг. 2.16).
Решение
Как и в задаче № 6, верхний правый элемент матрицы преобразования лучей от изображения к предмету равен U—V + PUV, и он должен обращаться в нуль. Далее, поскольку a U, а V отсчитываются в левую сторону от линзы, U должно быть положительным, но, чтобы действительный предмет дал действительное изображение, V должно быть отрицательным. Если через К обозначить расстояние от предмета до его изображения, то можно написать следующие равенства: K=U—V и V = U—К. Таким образом, выражая V через U и К, мы получаем
