Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
а) Рассмотрим сперва луч, входящий в оптическую систему параллельно оптической оси на высоте у\ (фиг. 2.17а). В соответствии с принятыми в гауссовой оптике допущениями такой луч появится на той же самой высоте во второй главной плоскости Н2, выходя из которой он резко меняет направление своего распространения таким образом» чтобы пройти через вторую фокальную точку F2. Для этого луча v\, а следовательно, и Vi равны нулю. Тогда из матрицы преобразования лучей мы имеем в плоскости ОП2 у2 » Ayi и t»2 *= Vt/n2 = Cyjn2.
Пусть U — смещение, измеряемое в положительном направлении оси г от ОП2 к Р2, тогда должно выполняться следующее соотношение: t2 — —y2/v2 = —п^А/С, которое дает местоположение второго фокуса.
фиг. 2Д7а
Матричные методы в параксиальной оптике
71
«I*
§ Рассматриваемый луч выходит из второй главной плоскости К Н2 в точке с вертикальной координатой у\. Следовательно, если определить второе фокусное расстояние f2 как смещение от Н2 до F2, то оно должно быть равно /2 = —yjv2. Поэтому f2 = = —^yi/Cyi = —п2/С, и тем самым определяется второе фокусное расстояние.
Следовательно, смещение от ОП2 до второй главной плоскости равно s2 = t2 — /2 = п2( 1 —А)/С.
б) Рассмотрим теперь луч, который входит в оптическую систему под углом V\, проходя через первый фокус F\ (фиг. 2.176). Направление распространения этого луча резко изменяется при пересечении им первой главной плоскости Нй он становится параллельным оптической оси системы и, следовательно, пересекает ОП2 под углом у2 = 0 (стало быть, и V2 — 0).
Следовательно, можно написать V2 = Су\ -j- Dn\V\ = 0 и ух = —DriiVi/C. Из фиг. 2.176 видно, что смещение t\ фокуса F\ от ОП] дается выражением t\ — —y\/v\ = riiD/C. Таким образом определяется положение первого фокуса.
Мы уже упоминали, что в первой главной плоскости г/-коор-дината этого луча должна быть равна у2 = Аух -j- Bri\V\. Поэтому, определив первое фокусное расстояние f\ как смещение F\ от #ь мы должны иметь fi = y2/v\ = —DAni/C -j- Bnx = =—rii(AD — ВС)/С. Вспомнив, что (AD — ВС)— 1, окончательно получаем выражение для первого фокусного расстояния, а именно fi = —п\/С.
Следовательно, величина si = U + /1 = rii(D— I)/С представляет собой смещение первой главной плоскости Н\ относительно ОП].
в) В заключение нам нужно определить две узловые точки системы Li и L2. Эти точки характеризуются следующим свойством: любой луч,, входящий в систему под углом г>1 и проходящий через точку L\, появится на выходе системы как луч, выходящий из точки L2, причем выходящий луч будет составлять с
п
Глава 2
осью системы угол v2 = i»i (фиг. 2.17в). Обозначим через р\ и р2 соответственно смещения точки L\ от ОП1 и точки L2 от ОПг. Цепочка матриц, связывающая в обратном направлении вторую узловую точку Li с первой узловой точкой Lu записывается в виде
j" 1 р^п2 Тс 2][
Промежу- Проме- Промежуток ток от 12 жуток от от ОП1
до ОП2 ОП2 до до Li
ОП,
_П P2ln2]\A -(ApJnJ + Bl^
[О 1 JLC -(Cpjnd + D]
_ Г A + (p2c/n2) — (Api/tti) + B + p2 (—Cpi/tii + D)/n21 ~l 0 — С pi/tii + D J
(Заметим, что при записи этого выражения мы использовали приведенные смещения и что в матрице для оптического промежутка от ОП1 до узловой точки L\ стоит —pi, а не ри)
Обозначим только что полученную матрицу через ф и пусть у0 и vQ являются параметрами луча на входе в плоскости узловой точки Lu а уз и v3 — параметрами этого же луча на выходе из плоскости узловой точки U Тогда можно написать следующие уравнения:
Уз = ФпУо + ^12^0— ФиУо + Фп(п1ио)
и
п2V3 — V3 =* Ф21У0 + ФяУО = Ф21У0 + Ф22 (niVQ).
Однако если Lx и L2 — узловые точки и у0 = 0, то независимо от величины v0 мы должны иметь уз = 0 и v3 = v0. А эти
Матричные методы в параксиальной оптике
73
Таблица 2.1
Описываемый параметр системы Измеряемый от до Функция от матричных элементов Частный случай n,=n,=l
Первый фокус ОП] Fi niD/C D/C
Первое фокусное расстояние Fi Hi -я./С -1/C
Первая главная точка ОП1 Hi m (D-l)/C (D-l)IC
Первая узловая точка ОП1 Li (Dni — n2)/C 0D-l)/C
Второй фокус ОП2 f2 — n2A/C -A/C
Второе фокусное расстояние #2 f2 — n2/C -1/C
Вторая главная точка ОП2 #2 n2 (1 - A)/C (1 -A)/C
Вторая узловая точка оп2 U {n,i — An2)/C (1 - A)/C
равенства выполняются, только если фи = 0 и ^(/и/лг) = 1, иными словами, если матрица ф представляет собой матрицу преобразования луча от предмета до изображения с поперечным (линейным) увеличением 1 /022 = (щ/щ).
Из уравнения ф22 = (п2/п{) вытекает равенство pi = (Dn\ — — п2)/С. Подставляя его в условие фи = 0, в конечном счете получаем pz = («1 — Ап2)/С.
Для удобства вычислений все эти результаты мы свели в таблицу (см. табл. 2.1).
Из правой колонки табл. 2.1 видно, что узловые точки совпадают с главными точками системы в том случае, когда система находится в воздухе (случай, наиболее часто встречающийся на практике). Такое совпадение узловых и главных точек обусловлено тем, что для погруженной в воздух оптической системы условия для единичного углового увеличения и единичного линейного увеличения одинаковы. Кроме того, оба фокусных расстояния равны одной и той же величине —1/С. (В тех случаях, когда показатель преломления среды отличается от единицы, мы имеем дело с приведенным фокусным расстоянием, которое также равно —1/С.)
