Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы уже показали, что наиболее просто свертывается в единую матрицу либо последовательность ^"-матриц, либо последовательность 52-матриц. Однако в общем случае может быть произвольный порядок следования 31 и ^"-матриц; поэтому нужно тщательно следить за тем, в каком порядке они появляются. Умножение любой матрицы преломления на любую матрицу перемещения* не коммутативно. Например,
«•-U ж; :ы-1 „-U
тогда как
«-[i \][-i IH0:? W
Мы видим, что вторая матрица отличается от первой: матричные элементы на главной диагонали поменялись местами.
Матричные методы в параксиальной оптике
51
§ б. МАТРИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛУЧЕЙ ДЛЯ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
5.1. Нумерация опорных плоскостей
Рассмотрим распространение параксиального луча через оптическую систему, состоящую из п преломляющих поверхностей, разделенных (л — 1) промежутками. Из конструктивных соображений удобно выбрать в качестве первой — входной — опорной плоскости плоскость ОПь расположенную на расстоянии da слева от первой преломляющей поверхности. ОП2 и ОП3 в таком случае помещают непосредственно слева и справа от первой преломляющей поверхности; ОП4 и ОП5— с обеих сторон от второй поверхности и т. д., до тех пор пока мы не дойдем до последних плоскостей ОП2п и ОП2п+ь расположенных по левую и правую стороны от п-й поверхности. Конечную — выходную — опорную плоскость ОПгп+2 следует поместить на расстоянии db справа от этой последней преломляющей поверхности. Далее мы попытаемся получить общую матрицу преобразования лучей М, которая позволит нам непосредственно преобразовывать вектор
Г У\ 1 Г У2П+2 "I .
входного луча I у J в вектор выходного луча I у I (см.
фиг. 2.4).
5.2. Нумерация матриц
Следующий шаг состоит в том, чтобы выписать матрицы перемещения или преломления, соответствующие каждому из оптических элементов, расположенных между различными опорными плоскостями. Перемещаясь по схеме (фиг. 2.4) слева направо, присвоим каждой матрице порядковый номер, т. е. запишем Mi, М2, Мгп+1, причем присваиваемый каждой мат-
рице оптического элемента номер должен совпадать с номером опор«ой плоскости, расположенной слева от элемента. Таким
образом, если обозначить вектор луча ? у J. проходящего через г-ю опорную плоскость, как Кг, то для преобразования параметров луча из ОПг в ОПг+1 можно написать следующее рекуррентное соотношение: Кг+\ = МТКГ\ аналогично Кт = МГ!.\Кг-\ И т. д.
^ Ч5
•«Л* «О
Входная
опорная
плоскость
Совокупности поверхностей--------(п-1)
Выходная
опорная
плоскость
•плоскостей
iZn-1) 2п | Я2п+1) (2п+2)
М4---------------------К-матрицы------------------------------^гп-г Щп ^гп+г =
^ Цепочка матриц \ yS /
Угп*г Угп*г
М‘
М,
Мс
-чГ- матрицы-
~Мгп-з
Мгя-i
М
zn*t
Кгп+г -(Мгп+t п ^гп-i------------^з ^Ч) ~MKj f
где M={M2n+1M2n MZn.,------------- M3M2Mt) -
произведение матриц, умноженных в обратном порядке
Фиг. 2.4
Матричные методы в параксиальной оптике
53
5.S. Расчет параметров выходного луча
по заданным параметрам входного луча
Используя повторно это рекуррентное соотношение, а также ассоциативное свойство умножения матриц, находим
К-2п+2= М2п+\К2п+1 = М2п+\ (М2пК2п) =
= (M2n+iM2n) {М2п-\К2п-\) =
= (M2n+iM2nM2n-IM2n-2 ... M3M2Mi) Кь
Следовательно, К2п+г = МКи где М представляет собой произведение всех матриц, взятых в нисходящем порядке номеров:
М — {M2rl+lM2nM2rt-lM2rt-2M2rt-3 ... МЪМ2М^.
Здесь важно отметить, что в этих уравнениях отдельные матрицы стоят в обратном порядке по сравнению с принятой для них нумерацией. Было бы полезно зрительно представлять себе такой порядок как порядок, который видит наблюдатель, если он смотрит назад от выходной опорной плоскости по направлению к источнику света. Кроме того, этот же порядок уместно сохранять при написании уравнения, если уж мы решили начать с вектора выходящего луча; тогда последующие матрицы можно рассматривать как звенья математической цепочки, которая приведет нас назад к входу системы.
5.4. Расчет входного луча по данному выходному лучу
Если мы хотим исходить из первых принципов, то для решения этой задачи мы должны обратить каждую из отдельных матриц, а затем воспользоваться обращенным рекуррентным соотношением Кг= МГ1Кг+1. При этом мы получим
К, = МГ'К2 = МГ1М21Кз = (М7[М21М3[М71 ... М2п[+1) К2п+2.
(Здесь звенья цепочки оказываются расположенными в возрастающем порядке номеров, но каждое из них представляет собой обращенную матрицу.)
Однако, как правило, мы будем иметь уже рассчитанную общую матрицу М и можем приступать прямо к обращению уравнения К2п+2 = Ai/Ci с тем, чтобы получить Кi = М~1К2п+2. В итоге мы получим тот же результат, поскольку, как было показано в § 10 гл. 1, матрица, обратная по отношению к произведению матриц, равна произведению обратных матриц-сомио-жителей, взятых в обратном порядке.
54
Глава 2
5.5. Получение общей матрицы М
Свойство ассоциативности позволяет по разному организовать вычисление общей матрицы, представляющей собой произведение отдельных матриц. Однако, если мы имеем дело более чем с тремя матрицами, то для облегчения расчетов можно предварительно разбить все произведение на пары матриц. Матрицу для произведений типа 9№Г можно выписать почти сразу, поскольку в этом случае требуется вычислить только четвертый матричный элемент (1—РТ). По мере того как продвигается вперед вычисление длинной цепи матриц, целесообразно время от времени проверять, равен ли единице определитель результирующей матрицы, полученной к данному моменту. Если он окажется не равным единице, это означает, что где-то в процессе вычислений была допущена ошибка, ибо все Я- и ^"-матрицы сами по себе унимодулярные.
