Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Ai = cos 0 + i sin 0 = exp (t'0),
A2 = cos 0 — i sin 0 = exp (—10),
где exp обозначает экспоненциальную функцию, a
Наоборот, если A + D больше 2 нли меньше —2, то мы можем выбрать такую положительную величину /, что A -J- D = = 2ch / [или —2ch(—t), если величина A + D отрицательна]. При этом собственные значения записываются в виде
А,! = ехр(0 [или — ехр(0, если А + ?> отрицательна],
А-; = exp(— t) [или —exp(•—<)» если А + D отрицательна}.
12.1
Чтобы завершить процесс приведения матрицы к диагональному виду, мы должны теперь определить диагонализирующую матрицу F и ей обратную матрицу F~l. Отметим, что нами уже определены отношения
(FiJF^^^-DyC^Bf^-A), (1.8)
(FuJF^) = (А2 - D)/C = В/(к2 - А). (1.9)
Введение е матричное исчисление
39
Фактически это дает нам два важных соотношения, которые определяют с точностью до скалярного множителя вид двух собственных векторов
Если мы теперь произвольно положим, что как Fu, так и Fi2 принимают значение С, то мы получим одну из возможных форм F-матрицы:
f rfn (А*-Я)]
L F21 /*22 J L С С J
определитель которой
det (F) = (FuF22) - (Fl2F2l) « С (Я, — Я2).
При желании мы могли бы преобразовать матрицу F к уни-модулярномувиду, разделив каждый ее элемент нат/С^ —^2). но это необязательно. Обратной к ней матрицей являет-
Г С (D — Аг) П
ся F~l = (adj F^/detff), и, очевидно, матрица ^ — D) J
делится на скалярную величину C(A,i — А*).
Итак, окончательное преобразование, приводящее матрицу я диагональному виду, имеет вид
г (Я. -D) (Л2 — /»1 г я., о л г с (D-x3)-i
ГЛ А С С JLo xJL-C (Я., — ?»)J . Im
Lc D J---------- ----------------с ft-*,)— ----------------’ (1Л°)
где AD — ВС ¦= 1, а А,, и Я2 таковы, что Я,Я2 = 1 и Я,1 + Я,2 = — Л + D.
12.2
Читатель может проверить, что тройное произведение матриц, приведенное выше, действительно удовлетворяет указанным соотношениям. Следует заметить также, что если элемент С несходной матрице обращается в нуль, то собственные векторы Должны определяться выражениями В/(Я] — А) и В/(Яг — А). Тогда получим
Г В В ПГЯ, О 1 Г(Я.а — >4) — В1
[.(А.,-Л) (Я« —Л) JLo Ушл-Я.) в\ п 1П
-В(Я,-Я2) •
(Очевидно, если и С, и В обращаются в нуль, то матрица М уже прдведена к диагональному виду!)
[г я-
ГЛАВА 2
МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ В ПАРАКСИАЛЬНОЙ ОПТИКЕ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В данной главе мы рассмотрим, каким образом можно применить матрицы для описания геометрического построения изображений в центрированной системе линз, т. е. в системе, состоящей из последовательности сферических преломляющих поверхностей, центры которых расположены на одной оптической оси. Все полученные ниже результаты справедливы лишь в рамках двух главных приближений.
Первое из них представляет собой основное допущение всей геометрической оптики и состоит в том, что длина волны света считается пренебрежимо малой и что распространение света можно описывать с помощью отдельных лучей, а не на языке волновых фронтов. (В гл. 3 мы еще вернемся к этому вопросу, когда будем обсуждать распространение гауссова пучка, который наилучшим образом, каким только позволяет природа, аппроксимирует одиночный луч света.) Путем построения Гюйгенса можно показать, что в свободном пространстве световые волны распространяются вдоль направления нормалей к волновым фронтам. Понятие геометрического луча представляет собой идеализацию этой волновой нормали. Последнюю на языке векторов можно рассматривать либо как вектор Пойнтинга электромагнитного поля, либо как градиент некоторой скалярной функции (эйконала), которая описывает фазу волнового возмущения. Из этих представлений следует принцип наикратчайшего оптического пути Фермй, которому подчиняется каждый луч. Суть этого принципа заключается в следующем. Если мы рассмотрим окрестность любого небольшого участка траектории луча, то луч выбирает такой путь между двумя точками, который соответствует минимуму времени, затрачиваемому» на прохождение расстояния между этими точками.
Второе наше приближение состоит в том, что мы будем рассматривать лишь параксиальные лучи, — лучи, которые при своем прохождении через оптическую систему остаются близкими к ее оси симметрии и почти параллельными ей. Тогда для синусов и тангенсов любых углов, образуемых этими лучами с опти-
Матричные методы в параксиальной оптике
41
ческой осью, можно использовать первый порядок разложения в ряд. Следовательно, эффекты третьего порядка, такие, как сферическая аберрация или кома (сферическая аберрация наклонных пучков), а также астигматизм, кривизна поля и дистор-сия, выпадают из поля зрения нашего анализа. Однако продольной и поперечной хроматической аберрации мы немного коснемся.
Оптику параксиальных изображений часто называют гауссовой оптикой, поскольку именно Карл Фридрих Гаусс в 1840 г. заложил ее основы. В своем классическом труде «Dioptrische Untersuchungen» Гаусс показал, что свойства любой системы линз полностью определены, если известны шесть ее кардинальных точек: две фокальные точки, две узловые точки, соответствующие единичному угловому увеличению, и две главные точки, соответствующие единичному линейному увеличению. Гаусс в этой статье дал рецепты для экспериментального определения положений этих точек и итерационные методы их вычисления через радиусы кривизны поверхностей, расстояния между этими поверхностями и показатели преломления входящих в системы оптических материалов. Формулируя итерационный метод, Гаусс составил систему двух линейных совместных уравнений, выражающих в явном виде соотношения между высотой и углом луча на выходе оптической системы с высотой и углом соответствующего луча на входе. Однако в те времена матричный формализм не был известен, и Гаусс воспользовался алгоритмом, который он заимствовал у Эйлера, для того чтобы выразить четыре коэффициента в своих уравнениях в удобной для вычислений форме. (Используемые Гауссом выражения—сокращенная запись непрерывных дробей — называется теперь скобками Гаусса. Они никоим образом не потеряли своего значения, поскольку почти точно такой же экономный порядок вычислений используется в современном «ynv» методе.)
