Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
17
эти линзы будут собраны с использованием соответствующих матриц преобразования или без них, читатель данной книги не забудет проверить каждую из них на приборе для визуализации внутренних напряжений в стекле!
Один из авторов книги, Дж. М. Бёрч, выражает признательность Научно-техническому фонду штата Нью-Йорк, благодаря которому он проработал год в качестве приглашенного лектора в Оптическом институте Рочестерского университета. Он также признателен целому ряду сотрудников Рочестерского университета, и в особенности Дугласу К. Синклеру, за обсуждение некоторых аспектов теории матриц преобразования лучей.
20
Глава 1
записать в виде одного соотношения следующим образом:
Шс ®
оно имеет тот же самый смысл, что и пара уравнений. Каждая rf3 групп символов, заключенная между парой вертикальных скобок, рассматривается как единое целое и называется матри-
цей. Величины 1у] ¦ И представляют собой матрицы-столб-
цы, или, что то же самое, векторы-столбцы, поскольку каждый из них содержит лишь один столбец.
В общем случае матрица образует прямоугольную таблицу символов, записанных в виде строк и столбцов. Матрица Г А В~\
I С Da котоРая состоит из ДВУХ строк и двух столбцов, называется квадратной матрицей второго порядка. Матрица-строка, или вектор-строка, записывается в виде [Р Q]; в ней отдельные символы — матричные элементы — расположены горизонтально на одной строке. Матрица, состоящая из одного-единственного элемента, представляет собой обычное число, или скалярную величину.
Если каждой матрице поставить в соответствие определенный символ, то два уравнения можно записать гораздо более кратко, а именно:
С2 = 5С,;
здесь С] — матрица-столбец ? J , С2 — матрица-столбец
Г А В1
и S —квадратная матрица I ? д I •
Предположим теперь, что U и V связаны в свою очередь с другой парой переменных L и М, скажем, посредством другой пары линейных уравнений
L = PU + QV,
M = RU + TV,
которую мы запишем в виде
Ш-С Ж].
или
С3 — КС2)
введение в матричное исчисление
21
rLl \р Q1
здесь С3—матрица-столбец а /С — матрица |_ ^,1.
Конечно, мы можем выразить L и М через х и у, подставляя U и V в уравнения, определяющие L и М. Таким образом,
L = P{Ax + By) + Q(Cx + Dy),
М = R(Ax + By) + Т (Сх + Dy),
или
L = (PA + QC) х + (РВ+ QD) у,
М = (7?Л + ТС)х + (RB + TD) у.
Эти уравнения можно записать в матричном виде:
VLirPA + QC PB + QZnpn bd ~ ил + ТС RB + TD\ 1уУ
ИЛИ
C3 = FCU
Г РА + QC РВ + QD1 где F обозначает матрицу TQ r?)J . Но, с другой
стороны, можно написать
C3 = /CC2 = /C(5C!).
Теперь, если бы это было уравнение в обычной алгебре, мы могли бы, изменив просто местоположение скобок, переписать его в виде
сз^/сзс^дас,.
Тогда KS называлось бы произведением К и 5.
Кроме того, сравнивая уравнения, связывающие Ci и Сз, можно было бы написать
Сз — KSCi и C3~FClt
Следовательно,
F — KS,
и можно было бы сказать, что F представляет собой произведение К на S.
В матричном исчислении мы хотели бы поступать таким же образом, однако в таком случае необходимо определить произведение двух матриц, поскольку в обычной алгебре определено лишь произведение обычных чисел.
22
Глава 1
§ 2. ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Определим матричное произведение так, чтобы описанный выше формализм мог быть перенесен из обычной алгебры в алгебру матриц. Таким образом, будем называть матрицу F произведением матрицы К на матрицу S, причем
ГР Q1 Г А ВТ _ Г РА + QC РВ + QD1
U Т\ LC D1 LRA + TC RB + TDI
Рассматривая структуру матрицы в правой части этого равенства, нетрудно понять правило ее получения.
Левый верхний элемент новой матрицы стоит в первой строке и в первом столбце. Для того чтобы его получить, нужно взять первую строку матрицы К, т. е. [Р Q], и первый столбец матри-
Л1
g I , и умножить друг на друга их соответствующие
первый элемент строки на первый элемент столбца), образуя произведения РА и QC, а затем сложить эти произведения: РА -(- QC.
Элемент в первой строке и втором столбце матрицы F образуется аналогичным способом из элементов первой строки матрицы К и второго столбца матрицы S. Элемент матрицы F, стоящий во второй строке и первом столбце, образуется из второй строки матрицы К и первого столбца матрицы 5. И, наконец, элемент во второй строке и втором столбце матрицы F получается из второй строки матрицы К и второго столбца матрицы 5.
В некоторых приложениях оказывается удобным использовать обозначения для элементов матриц с помощью индексов. Например, запишем матрицу-столбец А в виде
цы S, т. e.j элементы i
К].
где нижний индекс указывает на местоположение элемента в столбце. Квадратную матрицу 5 можио написать следующим образом:
G" 1“]'
L021 ^22J
здесь первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент. В индексных обозначениях произведение двух квадратных матриц К и S, записываемых как
_ ГЛи Аю! с_Г^п ^121
д - U, ы и Ls21 sJ*
Введение в матричное исчисление
23
равно F — KS, причем матрица F принимает вид
]¦
г- 2
2
<=1 2
1=\
2
Отсюда следует общая формула для любого элемента матрицы:
