Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 1
линиями, между которыми записываются элементы матрицы, либо просто знаком det(Af). Таким образом,
Ain Ми
Определитель матрицы М -
М2, М31
М32
«13
«23
Мзз
= det (Af).
В случае квадратной матрицы большого порядка п правило вычисления определителя является довольно сложным; оно включает суммирование очень большого числа попеременно положительных и отрицательных n-кратиых произведений матричных элементов; даже для п = 4 требуется выполнить 41 = 24 операции умножения.
Однако в настоящей книге мы будем рассматривать Только определители матриц размером 2X2. Правило для их вычисления очень простое: нужно найти произведение двух элементов на главной диагонали (верхнего левого и нижнего правого) и вычесть из него произведение остальных двух элементов.
ГА В]
Таким образом, для ,1?атрицы Р = 1 ^ ^ I имеем
А В
det (Р) ¦¦
С D
= (AD-ВС),
где А, В, Си D — обычные числа или скалярные величины.
9.1
Если Р--
к а
то det (Я) = (1 X 9) ~ (2 X 3) 9 — 6 #= 3.
Мы можем сформулировать следующую теорему об определителях: Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.
9.2
Если
/> = [!? 7], то det(Р) = (6X(3X5) = 42 — 15 = 27, и если
«-[I 4]. то det(Q)=-(lX4)-(2X3) = 4-6 = -2. Таким образом, (det P)X(det Q)= (27)Х(—2)==—54.
Введение в матричное исчисление
33
С другой стороны, если мы найдем произведение двух квадратных матриц:
Г 15 24 "I
PQ = I 26 38 . то мы снова получим
det (PQ) = ( 15 X 38) - (24 X 26) = 570 - 624 = -54.
Эту теорему можно обобщить на любое число матриц:
det (PQRST и т. д.) = det (Р) det (Q) det (R) det (S) det (T) и т. д.
Этот факт удобно использовать для проверки правильности выполнения операции произведения матриц.
Следует отметить, что, хотя для квадратных матриц произведение PQ в общем случае не является тем же самым, что произведение QP, эти два произведения имеют одинаковые определители. Иными словами, для определителей порядок перемножения матриц не имеет значения.
9.3
В примере 2.1 мы нашли, что если
В этом случае
det (ЛЯ) =10+ 102 =П2, det(BA)= -800 + 912 = 112 и, конечно,
(det А) X (detB) = (—8) Х(—14) = П2.
Некоторые квадратные матрицы имеют определитель, равный нулю. Такие матрицы называются вырожденными1). Почти все матрицы, которые мы будем рассматривать в настоящей книге, являются невырожденными2), т. е. их определители отличны от нуля.
§ 10. ДЕЛЕНИЕ И ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ
В обычной арифметике, если мы хотим разделить некоторый набор чисел на одно и то же число k, то часто бывает более удобным найти число (Л)-1, ему обратное, и использовать его в качестве множителя. Точно так же, если мы хотим разделить некоторые матрицы на квадратную матрицу М, полезно решить
*) Или особенными. — Прим. ред.
*) Их еще называют неособенными. — Прим. ред.
2 Зак. 774
34
Глава 1
задачу нахождения матрицы, обратной матрице М. Оказывается, что если матрица М не вырождена, то существует одна и только одна обратная ей матрица R, обладающая тем свойством, что как произведение (MR), так и произведение (RM) равны единичной матрице / того же порядка. Эту матрицу удобно обозначить через М~1. Матрицу М~{ можно умножать на некоторую матрицу слева, и мы имеем ВМ~\ или справа, т. е. М~1В, причем это будут различные операции.
Правило нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы, и для матриц большого порядка оно довольно сложно. Это правило состоит в том, чтобы иайти присоединенную матрицу, транспонировать ее, а затем разделить на определитель.
Здесь мы, одиако, будем име-ть дело только с обращением матриц 2X2, что является предельно простой процедурой. В этом случае присоединенная матрица получается простой взаимной заменой диагональных элементов с одновременным изменением знака правого верхнего и левого нижнего элементов.
Таким образом, для матрицы
Г А В
М LCD
)
можно сразу написать
Г D ~С1 adj(M) = |__B А\.
Затем найдем матрицу, транспонированную по отношению к ad] (Л1),
(ad](Al))T = [_J ВА],
и, наконец, разделим каждый ее элемент на определитель det (M) = (AD-BC).
Заметим, что определители всех трех приведенных выше матриц одинаковы.
10.1
Корректность описанной выше процедуры мы проверим следующим образом:
т Г А ВТ Г D -ВТ
Л^(М))ТПС dJUc л]~
Г (AD-ВС) (-AB-YBA)-} Г 1 01
^[(CD-DC) (-BC + AD) J—5С)[0 1 J — det (Л4) /
(где / — единичная матрица).
Введение в матричное исчисление
35
Большинство необходимых нам матриц размером 2X2, которые придется обращать, имеют определитель, равный единице. Для таких матриц, называемых иногда унимодулярными, правило обращения можно сформулировать совсем просто: Чтобы обратить унимодулярную матрицу 2X2, нужно поменять местами элементы, расположенные на главной диагонали, и изменить знаки двух других элементов, оставляя эти элементы на Своих местах.
Таким образом, если
га В1 Л = 1с о]’
то
-Ч-с -;]¦
Никаких вычислений здесь производить не надо!
И, наконец, точно так же, как и для транспонированных матриц, чтобы получить матрицу, обратную произведению нескольких матриц, мы должны перемножить в обратном порядке матрицы, обратные отдельным сомножителям:
