Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
где Frt — элемент матрицы F в R-й строке и Т-м столбце; обозначения для матриц К и 5 аналогичны. (Используемый здесь знак суммирования означает, что повторяющийся индекс i пробегает последовательно все возможные значения; этот индекс иногда опускают.)
До сих пор мы рассматривали матрицы размером «два на два» (2X2) и столбцы размером «два на один» (2X0; но матричное представление является значительно более общим. В настоящей книге нам потребуются квадратные матрицы размером 2X2, 3 X 3 и 4 X 4, столбцы 2X1, ЗХ1и4Х1и строки размером 1X2, 1 X 3 и 1X4. Все эти матрицы определяются таким же образом. Например, пусть имеется система четырех уравнений с четырьмя неизвестными:
В\ = KuAi -f- К 12^2 4" К13А3 /С14Л4,
В2 = К21А1 + К22А2 4" Лгз^з "Ь ^24^4, В3 — Къ\А\ + К32А2 4" К33А3 + KziAit
В4 = КцА\ -(- К42А2 ~Ь Л43Л3 -(- /С44Л4.
Запишем ее в матричном виде либо как
Гвп г Ки /С,2 Кхз Кц-Л г Ац
В2 К21 К22 К.2 3 Л 24 А2
В3 К 31 К32 /Сзз Л34 А3
34
-В4 J К 41 К42 К43 Км -* L^4 -
24
Глава I
В этом случае R-й элемент матрицы-столбца В дается выражением
4 "
ВЛ1 — ? KriAi 1.
1=1
Заметим, что мы применили изложенное выше правило получения элементов произведения матриц, поместив А на место матрицы S, а В — на место матрицы F; однако, поскольку А и В представляют теперь матрицы-столбцы размером 4X1. второй индекс Т в матрицах F я S принимает единственное значение, равное 1. Поэтому запись можно упростить:
BR=t К „А,
г=»1
(где В и А являются, очевидно, векторами).
Это правило для перемножения матриц весьма важно, и мы будем часто им пользоваться. Необходимо, чтобы читатель основательно познакомился с ним, прорешав множество конкретных примеров. В качестве иллюстраций приведем следующие примеры:
2.1 .
Ёсли
то
гохгжзхо ^х^+зх^п
L(5X2) + (7X1) (5X6) + 7X(-4)J
_Г 2 + 3 6 + (—12П Г 5 -61
L10 + 7 30 + (—28) J L 17
но
й/1-Г(2Х1) + (6Х5) (2 X3) + (6X7) 1 L(1 X 1) + (—4 X б) (lX3) + (-4X7)J“
_Г 2 -(- 30 6 +421 Г 32 481
^ L 1 - 20 3-28j==L-19 —25 J'
Нетрудно видеть, что матрицы АВ и ВА сильно отличаются друг от друга. При перемножении матриц должен соблюдаться порядок сомножителей: равенство АВ = ВА
здесь не справедливо. Таким образом, произведение матриц некоммутативно.
Введение в матричное исчисление
25
2.2
Если
то
С =
CD =
3 1 41
2 16 и D-1 3 4 J
--5-
3
- 1-
(3 X — 5) + (1 X 3) + (4 X 1) (2 X — 5) + (1 X 3) + (6 X 1) (1 X — 5) + (3 X 3) + (4 X 1) —16 + 3+4 -10 + 3 + 6 — 5 + 9 + 4J
]-
В
При получении произведения DC мы должны сначала умножить элементы первой строки матрицы D на элементы первого столбца матрицы С. Но в первой строке матрицы D есть только
з-
один элемент [—5], в то время как в первом столбце
мат-
рицы С — три элемента. Поэтому это произведение записать невозможно. Мы можем перемножить две матрицы С и D тогда и только тогда, когда число столбцов в первом сомножителе (матрице С) такое же, как число строк во втором сомножителе (матрице D); при этом матрицы С и D называются согласованными в смысле умножения и можно получить произведение CD.
2.3
Пусть даны матрицы ? = [3 1 4]
1
2
L6
9
-3
3J
Тогда мы можем написать
EF = [( ЗХ1) + (1Х2) + (4Х6)
(3 X 5) + (1 X 4) + (4 X 1)
(3X9) — (1 X 3) + (4 X 3)] = = [(3 + 2 + 24) (15 + 4 + 4) (27-3+ 12)] = = [29 23 36].
26
Глава 1
Если поменять порядок сомножителей, то нельзя получить прот изведенне FE, поскольку F содержит три столбца, а Е — только одну строку.
2.4
Пусть
Я = [3 1 6] и
*“[7]
Если в качестве первого сомножителя взять матрицу Я, а в качестве второго — матрицу К, то эти матрицы являются согласованными, поскольку Н состоит из трех столбцов, а К— из трех строк. Тогда произведение
НК = [(3 X 2) + (1 X 4) + (6 X 7)] = (6 + 4 + 42) = 52
представляет собой обычное число.
Рассмотрим, что произойдет, если умножать К на Н. В атом случае матрицы опять согласованы, так как в К содержится один столбец, а в Н — одна строка. Таким образом,
'2Т [3 1 6]
КН.
¦13
[2X3 2X1 2X61 Гб 2 12-1
4X3 4X 1 4X6 = 12 4 24 .
7X3 7X1 7X6-1 L21 7 42 J
ХЗ 7X1 7X6-
Следовательно, для рассмотренной пары матриц произведение НК есть простое число, а произведение КН — квадратная матрица размером 3X3.
Если
§ 3. НУЛЕВЫЕ МАТРИЦЫ
¦U о]- * 41 I]
(или любая квадратная матрица второго порядка), то произве*
ГО 01
дения и LM, и ML записываются в виде I о 0 J ' ^атРнца ? q ^ называется нулевой матрицей второго порядка. Нулевые
Введение в матричное исчисление
27
матрицы обычно обозначаются символом 0 и выполняют ту же роль, что и 0 в обычной алгебре.
Нулевой матрицей 0 может быть любая квадратная или прямоугольная матрица (любого размера), в которой все элементы равны нулю. При умножении любой матрицы, имеющей в качестве первого или второго сомножителя нулевую матрицу (согласованной формы), мы получаем нулевую матрицу.
§ 4. ЕДИНИЧНЫЕ МАТРИЦЫ
4.1
Если
]¦
то
т. е,
[i п - ч;
^-«Ч’ *]•
г 1 от
. мы получаем снова матрицу Q. Матрица I ^ I
имеет сле-
дующее свойство: любая матрица из двух строк, умноженная на нее слева, и любая матрица из двух столбцов, умноженная на нее справа, в результате остаются неизменными. Такую матрицу мы называем единичной матрицей второго порядка.
