Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
(PQRS)~l = S~'R~lQ~'P~l и т. д.
Чтобы убедиться в этом, запишем произведение (PQRS)(S~iR-1Q~1P^) н найдем, что центральные звенья цепочки, начиная с SS-1 = /, образуют последовательность единичных матриц, которые, свертываясь, дают в качестве окончательного результата одну единичную матрицу.
в 11. ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ
Иногда возникает необходимость выполнять одно за другим умножение на одну и ту же невырожденную матрицу М. При этом оказывается удобным найти диагонализирующую матрицу ') F, т. е. такую, что
M = FAF~\
где Л — диагональная матрица, a F~l — матрица, обратная к F. Если мы допустим, что такие матрицы F и Л существуют, то, поскольку F~lF — /, квадрат матрицы М равен
м2 = ММ = (FAF~') (FAF~') — FAIAF-' -» FA2F~\
*) Под диагоиализирующей матрицей далее понимается матрица, преобразующая исходную к диагональному виду, — Прим. ред.
36
Глава 1
Аналогично,
М3 — ММ2 = (FAF~') (FA^-1) =
В общем случае
Мяш*РАкР~1.
Таким образом, если преобразование к диагональному виду найдено, то N-я степень исходной матрицы получается простым возведением диагональной матрицы в N-ю степень, причем все, что мы должны сделать, — это заменить каждый г-й диагональный элемент А* величиной X?.
Диагональные элементы Х\, fa, ..., Хг, ... матрицы Л называют характеристическими корнями илн собственными значениями исходной матрицы ш, а отдельные столбцы диагонализи-рующей матрицы F называют соответственно ее характеристическими векторами, или собственными векторами.
Чтобы разобраться в этом несколько глубже, выделим из квадратной матрицы F ее r-й столбец Fr. Последнее можно сделать, умножив F справа на вектор-столбец Ст, в котором г-й элемент равен 1, а остальные — нулям.
Что произойдет, если мы умножим матрицу М на вектор-столбец FT — FCr? Мы имеем
MFr = (FAF~l) {FCr) = FACr — PrXr = XrFr
(поскольку %r — скаляр). Иными словами, при умножении матрицы М на вектор Рг мы получаем тот же самый вектор, умноженный на скаляр V Вектор-столбец Fr называют г-м собствен-, ным вектором матрицы М, а А* — соответствующим r-м собственным значением. Для матриц 2X2, а в дальнейшем мы будем приводить к диагональному виду лишь такие матрицы, существуют только два собственных вектора Ft и Fs и два собственных значения A,i и fa.
(Кроме того, если матрицу М рассматривать вторым сомножителем, а не первым, то можно получить собственные векторы в виде векторов-строк, которые в этом случае будут выделяться как строки из обратной матрицы F~l. В дальнейшем мы будем использовать собственные векторы только в виде столбцов.)
§ 12. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ 2x2
Если мы хотим привести квадратную матрицу М к диагональному виду, то следует начинать с определения собственных значений Xt, fa, ... и т. д. Для этого обычно решают характеристическое уравнение матрицы:
det {XI — Af) = 0.
Введение в матричное исчисление
37
Однако в случае унимодулярнрй матрицы 2X2 более поучительно сделать это, исходя из первоначальных понятий. Дана . Г А В1
* матрица М = I ^ I, требуется найти диагонализирующую
матрицу F и диагональную матрицу Л, такие, что М — FAF~1 и, следовательно, MF = FA. Перепишем последнее уравнение в развернутом виде и получим необходимое условие:
"Чс Ж" Ж Л-
L С D J \_F21 F22 J L F21 ^22 J L0 J
где (AD — ВС) = 1, так как det(M)= 1. В результате умножения имеем
Г AF\\ + BF2\ AF\2 + BF22 "j ГЛ1Л1 ^12^2"!
L CF\\ + DF21 СFi2 + DF22 J L F2\^\ F22^2 J
Поскольку требуется, чтобы матрицы в левой и правой частях
были одинаковыми, мы можем записать четыре отдельных урав-
нения, которые получаются приравниванием соответствующих элементов правой и левой матриц:
AFn + BF2l = FuKu (1.1)
CFti + DF2\ =F2ikx, (1.2)
AF\2 + BF22 — F 12^2, (1.3)
CFl2 + DF 22 = F 22h2. (1,4)
Разделив уравнения (1.1) и (1.2) на F21, мы можем исключить отношение (Fu/F2i) и получить
(Fn/F*) = ВЦК ~А) = (Я! - D)/C.
Следовательно,
(h-A){kl-D) = BC.
Аналогично, разделив уравнения (1.3) и (1.4) на F22 и исключив (F\2/F22), находим
(Fl2JF22) = В/(Х2-А) = (к2 - D)/C.
Следовательно,
(Я^ -A)(k2-D) = BC.
Таким образом, Я1 и Я2 удовлетворяют одному и тому же уравнению
(Я — А) (X — D) — ВС = 0. (1.5)
38
Глава I
det (A./ — M) ¦¦
(к-A)(l-D)-BC=*0.
Хотя это решение не совсем строгое, нетрудно заметить, что полученное уравнение эквивалентно упомянутому выше характеристическому уравнению. Действительно,
(А, — А) -В
-С (А, — D)
Согласно условию, det(Af) = (AD — ВС) = 1, и характернче-ское уравнение для двух значений А, можно упростить:
к2-(А + Ь)\+ 1=0. (1.6)
Отсюда сразу видно, что два решения Ai и А* должны удовлетворять равенствам Ai -j- fa ** А D и AiA* = 1. Решая квадратное уравнение, находим
Я = у[(Л + D) ± У(Л + D? - 4]. (1.7)
(Решение Ai определяется этим выражением с положительным знаком перед корнем, а Аг— с отрицательным знаком перед корнем.)
Величину A -f D, т. е. сумму диагональных элементов, называют следом, нли шпуром, матрицы. Если след А + D принимает значение от 2 до —2, то два собственных значения удобно переписать в виде функций угла 0, выбирая его так, чтобы он изменялся в пределах от 0 до я. Таким образом, можно записать A -J- D — 2 cos 0. Тогда мы получаем следующие равенства:
