Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Джеррард А. -> "Введение в матричную оптику" -> 10

Введение в матричную оптику - Джеррард А.

Джеррард А., Бёрч Дж.М. Введение в матричную оптику — М.: Мир, 1978. — 341 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievmatrichnuu1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 106 >> Следующая

Другие примеры единичной матрицы, как правило, обозначаемой символом /:
единичная матрица 3X3
г1 0 0-
0 1 0 1
Lo 0 1-
X 4
г 1 0 0 °1
0 1 0 0
0 0 1 0
-0 0 0 1 -
и т. д.
Единичная матрица порядка п имеет п строк и п столбцов. Все ее элементы — нули, за исключением элементов, расположенных на главной диагонали, которая проходит от верхнего левого элемента до нижнего правого; все диагональные элементы равны единице.
28
Глава 1
§ б. ДИАГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
Единичная матрица — это частный случай диагональной матрицы, последняя определяется как квадратная матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю. Элементы на главной диагонали могут иметь любые значения. Например, матрицы
являются диагональными.
Если перемножаются две диагональные матрицы, то порядок сомножителей не имеет значения, причем умножение выполняется очень просто и в результате получается также диагональная матрица.
(Следует заметить, что в этом примере для матричных элементов мы использовали алгебраические символы вместо арифметических величин. Как и в обычной алгебре, мы можем использовать их, чтобы выразить один из параметров через другой.)
Если мы хотим найти произведение трех матриц L, М и N, то мы можем поступить двумя способами:
1) можно найти произведение (MN) и затем умножить его слева на L;
2) можно найти произведение (LM) и затем умножить его справа на N.
При условии, что мы сохраняем порядок расположения матриц, эти два способа дают одинаковый результат. Таким образом, L(MN) = (LM)N. Как и в обычной алгебре, оба эти реэуль* тата обозначим LMN.
5.1
Если
то
§ 6. МНОГОКРАТНОЕ УМНОЖЕНИЕ
Введение в матричное исчисление
29
[; а- *-[\:] ¦ Ч! ;]¦
6.1
Пусть
L = L 4 2 J ’ М =
Тогда можно написать
»**>-[:;][»:н
и
Г 11 4 1 Г 4 21 Г 48 341
1.14 6 J L 1 3 j = L 62 46 J = LAljV>
48 34 62 46
= LMN
(.LM) N
что было установлено выше.
Таким образом, хотя произведение матриц не обладает свойством коммутативности, тем не менее ассоциативный закон для него справедлив. Обобщая этот закон на большее число матриц, нетрудно показать, что для произведения четырех матриц PQRS = P{QR)S = (PQR)S и т.д.
§ 7. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МАТРИЦ
При условии, что две матрицы М и N имеют одинаковое число строк и столбцов, их сумма (или разность) получается простым сложением (или вычитанием) любых двух соответствующих матричных элементов. Если Р ~ М + N, то Р\и~ = Mjh + AJjk. Поскольку все элементы пулевой матрицы 0 равны нулю, мы можем написать М + 0 = М и М — М = 0. Матрицы подчиняются дистрибутивному закону. А (В + С) = АВ -|- АС.
7.1. Численный пример
Пусть
Г 2 01 Г3 Г"1 П
= L 1 1 J ' В-.1 2 J И С = [ 2 0 J
Тогда можно написать
**¦»-[: ?][; ;н: и
н
Гб 01 Г-2 21 Г 4 21
АВ + ЛС-1, 2j + [ , ,j = [5 3J.
Г лам /
Из сказанного ранее ясно, что если мы одну н ту же матрицу сложим саму с собой Я раз, то каждый из матричных элементов окажется умноженным на одно и то же число (нлн скалярную величину}, %. Такую операцию называют иногда умножением матрицы на скаляр. Тот же результат можно получить перемножением матриц, если умножить матрицу справа или слева на диагональную матрицу XI, все диагональные элементы которой равны К.
Итак, мы рассмотрели правила умножения, сложения и вычитания матриц. Может быть также полезной операция деления одной матрицы на другую, и в данной книге мы нередко будем пользоваться парой квадратных матриц второго порядка, любая из которых является обратной по отношению к другой. Однако, прежде чем перейти к рассмотрению этой темы, мы кратко обсудим транспонирование матриц и познакомимся с понятием определителя.
Матрица, полученная в результате замены строк на соответствующие столбцы в некоторой матрице А, называется транспонированной матрицей по отношению к Л в обозначается Лт. Если матрица А имеет m строк н п столбцов, то транспонированная к ней матрица Лт состоит из п строк и m столбцов.;
f 8. ТРАНСПОНИРОВАННЫЕ МАТРИЦЫ
8.1
Если
Если
то Вт —[3 I 4].
8.3
Если
С-[б 7 1], то Ст
Введение в матричное исчисление
31
Существует важная теорема об умножении транспонированных матриц: Матрица, транспонированная по отношению к произведению двух матриц, равна произведению их транспонированных матриц, выполненному в обратном порядке. Таким образом,
{АВ)Т = ВТАТ.
8.4
Если
С другой стороны,
откуда получаем
т т Г13 411
ВА =Ll9 47 J
(читателю полезно проверить эти произведения).
Следует отметить, что если Л и В — прямоугольные матрицы, которые являются согласованными, только когда при умножении А предшествует В, то матрицы Вт и Лт будут согласованными, только когда при умножении этих матриц Вт стоит впереди Лт, как того и требует приведенная выше теорема.
Используя ассоциативное свойство матричного умножения, нетрудно показать, что
(.АВС)Т = ((АВ) С)т = Ст (ЛВ)Т = СТВТЛТ, и аналогично для произвольного числа матриц
(ABCDEF)T = FTETDTCTBTAT и т. д.
§ 9. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Для любой квадратной матрицы существует единственное число или величина, которая называется ее определителем. Определитель матрицы М обозначается либо прямыми
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 106 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed