Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Оценивание функций отклика на единичный импульс. Для того чтобы оценить характеристики системы, примем прежде всего упрощающее предположение, что система линейна. В таком случае соотношение между входом и выходом можно точно описать с помощью динамической случайной модели
OO
X2(Z)-Ji2= J А (и) [Xi (t-u)- ц,] du+ Z (0, (10.1.1)
о
где h(u)—функция отклика системы на единичный импульс и Z(t)—шум, или член ошибки, который предполагается некоррелированным со входом Xi(г). Вероятно, модель (10.1.1) неадекватна в некоторых случаях из-за нелинейности соотношения, связывающего вход и выход, либо из-за обратной связи входа с выходом через регулятор, как описано в [1], либо, наконец, из-за влияния других входных переменных на выход (гл. 11). Но в настоящий момент мы предположим, что модель (10.1.1) адекватно описывает реальную ситуацию. Это будет действительно так, если изменения Xi(t) достаточно малы и нет обратной связи. Для дискретного случая модель (10.1.1) имеет вид
OO
X21-Ii2 = 2 An, (*„_„-и,)+ Z,. (10.1.2)
т=0
Этой моделью часто пользуются для оценивания весов A7n по записям входа и выхода. Такой подход может быть неудовлетворительным по двум причинам. Во-первых, число весов hm, которое нужно знать для характеристики системы, может оказаться
188
Глава 10
большим. Поскольку физические системы обычно можно описать дифференциальными уравнениями вида (2.3.18), содержащими небольшое число параметров, разумнее параметризовать задачу, подбирая следующую модель:
X-2t — М-2 al (Xot-l — М-г) ~ ¦ ¦ ¦ — ат (X-2t-m ' Иг) =
= Ши~ Vi)+ $ЛХи-х~\1х)+ ••• + ? (*„_,-u.,)+ Z,. (10.1.3)
При такой параметризации число оцениваемых параметров остается небольшим. Во-вторых, оценки метода наименьших квадратов для hm, полученные из (10.1.2), сильно коррелированы, так же как оценки авто- и взаимных корреляционных функций. Пример такой корреляции оценок пт будет приведен в разд. 10.2.
Оценивание частотных характеристик. Характеристики системы можно оценивать также в частотной области с помощью спектрального анализа. Основное преимущество такого подхода состоит в том, что он устраняет трудности, обусловленные второй из перечисленных выше причин. В разд. 10.3 будет показано, что с помощью взаимного спектрального анализа можно оценить частотную характеристику
OO
H(f)= J h(u)e-<2*u du, (10.1.4)
о
взяв в качестве ее оценки функцию
"^) = Mk- (10Л-5)
Wl Vl)
В (10.1.5) С 12(f)—сглаженная оценка взаимного спектра входа и выхода, a Cu(f)—сглаженная оценка спектра входа. Значения оценки (10.1.5) на соседних частотах некоррелированы. Следовательно, оценка функции h(u), полученная с помощью обратного преобразования Фурье от (10.1.5), будет гораздо более гладкой, чем при непосредственном оценивании п(и).
Поскольку используемый в спектральном анализе метод стягивания окна сам подстраивается под локальные свойства частотной характеристики, можно ожидать, что в частотной области понадобится меньше параметров, чем во временной. Однако при спектральном анализе требуется все же оценивать больше параметров, чем при подгонке надлежащим образом выбранной параметрической модели. Поэтому в работах подобного рода как окончательную цель следует рассматривать параметрическое оценивание. Основное значение спектрального анализа при анализе систем состоит в том, что он служит методом, полезным для выдвижения возможных моделей. Впрочем спектральный анализ имеет и не-
Оценивание частотных характеристик
189
сколько преимуществ по сравнению с параметрическим подходом. Во-первых, как показано в гл. 11, его легко обобщить на многомерные системы. Во-вторых, во многих практических задачах инженеры заинтересованы в описании функций усиления и фазы лишь в очень ограниченном диапазоне частот, в то время как параметрическая модель дает описание в гораздо более широкой области. И наконец, благодаря гибкости спектрального подхода временные ряды можно расфильтровать на компоненты, соответствующие различным частотным диапазонам, и затем анализировать их по отдельности. В некоторых приложениях это необходимо, ибо предположение о том, что одна и та же параметрическая модель верна в широком диапазоне частот, может быть неоправдано.
10.2. ОЦЕНИВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОТКЛИКА НА ЕДИНИЧНЫЙ ИМПУЛЬС
10.2.1. Непосредственное оценивание функций отклика на единичный импульс
В разд. 10.1 утверждалось, что непосредственное оценивание функции отклика на единичный импульс h(u) представляет собой неразумный подход. Чтобы проиллюстрировать трудности, скрывающиеся в этом подходе, рассмотрим искусственные данные, полученные с помощью линейной модели
X2t = Xf + zt,
Xt = 0,25Х(_, - 0,5Xt-2 + Xn, (І0-2Л)
где Zt — белый шум и Xit — вход системы. Выход системы X2I равен сумме белого шума Zx и отклика линейной системы X1 на входной сигнал Xit. Использованные для анализа данные, состоявшие из пар значений хи и x2t, приведены в Приложении П10.1. К этим данным подбиралась модель вида
м _
(X2t - ц2) = 2 hn (Xu-m - X1) + Zt, (10.2.2)
m = 0
где Xi — средний уровень входного процесса. Поскольку значение М, за которым hm становятся пренебрежимо малыми, неизвестно, нужно попробовать несколько значений M и остановиться тогда, когда выборочные оценки hm станут малы по сравнению с уров-.нем шума. При фиксированном M веса hm можно оценить методом наименьших квадратов, т. е. предполагая, что шум белый, надо минимизировать выражение
