Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
-г
Г"
- Г" J e/2w(g, + e,) (l _ Ji-Lj dr
-г
Г"
Это выражение сводится к
со со
1 Г Г /n sin2 я (g, + g2) Г - sin* я (g, + g2) Г" . ,
72" J00 J00111 *2 (el+st) 81 А>
где {Г} обозначает выражение в фигурных скобках из предыдущего равенства. Поскольку
sin2 аТ' — sin2 аТ" = sin a (T — | и, |) sin a (T — | и2 \),
то, делая замену gi = f + g, g2 = f-g, dgldg2 = 2dfdg, получаем
OO со
-оо —со
X [Ггй (/ + g) Tn (f - g) е'^(«.-"•) + Г„ (/ + g) Tik (f - g) ei*«*(«.+«•)] d/rfg,
(П9.1.13)
что и является другим вариантом выражения (П.9.1.9), дающим точный результат в случае гауссовских процессов.
Если I Ui I и IW21 малы, a T велико, то интегрирование по / в (П9.2.2) дает
Cov[Ci/(w,), Cm(U2)] =
00
= у- J [Г?* (ff) Г„ (- g) enw-u, + Ги {g) r/ft (_ g) („,+«,,] ^
— 00
*m (П9.1.14)
178
Глава 9
Подставляя (П9.1.13) в (П9.1.12), получаем Cov[CuV1), Ckl(f2)] =
T оо
= f Г е-ПМииМ) JL Г f sin 2я/(Г - I и, I) sin 2я/(Г-|Ц2|) JJ 7"2JJ 2я/ 2я/
-Г -оо
X [Г,* (/ + ?)Г„ (/-?)*./*«<».-««> +
+ Г» (Z + g) Г/4 (/ - gr) Є/й«(«.+«.>] df Й? rfUj ^M2.
Меняя порядок интегрирования, собирая одинаковые члены и производя некоторые упрощения, мы получаем
СоУ[Сг/(/.), Ск,М =
оо ио
1 Г г /дЛ sin яГ і — дс) sin яГ (f2 + *) ^ Г г , .
X
sin яТ (fi + у) sin JjTQ2 — у) , .1 Г г / N sin яГ Qi — л:)
я(/і + #) nQ2-y) v Тг J "v ' я (/,-л:)
— OO
OO
sinttr(f2-a:) . Єр . . sin яГ (/, + у) sin яГ (/2 + у) — -
Х UQ2-x) dx Г>*( У> UQi+у) Mh +У) <П9ЛЛб)
— OO
Упрощение формулы. Формула (П9.1.15) является точной для гауссовских процессов. Ее можно упростить, если спектры процессов приближенно равны константе в диапазоне от Zi до /2, так как в этом случае члены І\-ь(/і) можно вынести за знак интеграла. В результате для таких случайных процессов, которые имеют приблизительно постоянный спектр в диапазоне частот от Zi до /2, мы получаем
cov[си(Z1), си(Z2)]-Tlk(Z1)г/г(-Z1)[5лн/,(+|2?2)Г+
+га(/,)г,л-/,)[5і;у!,7г;г)]2. (П9.1.16)
Равенство (П.9.1.16) является точным для гауссовских белых шумов. В остальных случаях эта формула приближенная. Все полученные выше формулы применимы и в дискретном случае, если члены Г(/) умножить на Д и проводить интегрирование по частоте от —1/2Д до 1/2Д. Так, формула (П9.1.16) в дискретном случае переходит в
Cov [C11 (М, си(Ml ~ Д°Г„(f,)Г„(-U)[TZZThII+
+ «',ІИГ.І-ИІЙЗДГ, (П9.1.І7,
оценивание взаимных спектров
179
Если в (ГШ.16) и (П9.1.17) положить Xi = Xj = Xk = X1 = Z, то получим формулы (6.3.17) и (6.3.15) для белого шума и более общую формулу (6.4.9) для шума, не являющегося белым.
Формулы (П9.1.16) и (ПЭ. 1.17) показывают, что при больших T ковариация двух спектральных оценок имеет порядок 1/Г2 во всех случаях, кроме Zi = f2. Следовательно, с хорошей степенью приближения можно считать, что спектральные оценки, относящиеся к частотам, разнесенным больше чем на 1/7", являются некоррелированными.
Обобщенная матрица ковариации. Общие формулы (П9.1.16) и (ГЛЭ. 1.17) можно использовать для вывода обобщенной матрицы ковариации (9.1.22). Например, член Cov [L12 (Z), Qi2(Z)] можно получить следующим образом:
Li2 (/) = 4- [C12 (/) + C12 (- /)] = ~ [C12 (f) + C21 (/)], Q12 (/) = if [C12 (/) - C12 (- /)] = ¦L [C12 (/) - C21 (/)]. Следовательно, COv[L12(H, Q.2(f)] = Cov[Cl2(/) + C2l(/), c»W-Ctl(f)^
= ± {Cov [C12 (!), C12 (f)] - Cov [C12 (f), C21 (f)] + + Cov [C21 (f), C12 (f)] - Cov [C21 (/), C21 (Z)]}. Замена Cov[C,j(f), Chi(f)] на (9.1.15) приводит к выражению
Cov [L 12 (Z), Q12 (Z)] = ± [Г,, (/) T22 (- /) W2(+) + V12 (/) Г21 (- /) W (-)--Г12(/)Г2,(-/)"72( + )-Ги(/)Г22(-/) WH-) + + r21(f)T12(-f)W4 + ) + r22(f)ril(-f)W2(-)~
- г22 (/) г,, (- /) W2 (+) - Г2, (/) T12 (- /) W2 (-)],
где мы использовали обозначения (9.1.13) и (9.1.14). Последнее выражение сводится к
CoV[L12(Z), Q12(Z)] =
=Ir {(+) [ - г?2 (Z) + Ti2 (- Z)] + w2 (-) [H2 (Z) - г?2 (- Z)]} •
Так как
H2 (Z) - г?2 (- Z) = А212 (Z) + 2/A12 (Z) Y12 (Z) - Y?2 (Z) -
- [Л?, (Z) - 2/A12 (Z) Y12 (Z) - Y?2 (Z)] = 4/A12 (Z) Y12 (f),
180
Глава 9
то, пренебрегая членом с W2( + ), получим
Cov [L12 (/), Q12 (/)] ~ A12(Z) Y12 (Z) (-).
^-свойства оценок автоспектров. Рассмотрим гауссовский процесс Xi(t) с нулевым средним значением и дисперсией о\. Спектральная оценка Сн(/) имеет вид
C11(Z) =
Г/2
\
-Т/2
J" XAt) е-dt
Г/2
J" (г) cos 2nft dt
.-Т/2
=4- [xi (Z) + z2 (Z)L
Г Г/2
J Z1 (r)sin2nZ/<#
-Г/2
(П9.1.18)
где XAf) и Xg(Z)—соответственно косинус- и синус-преобразования процесса Xi(t). Так как преобразование Фурье является линейной операцией, процессы Xc(f) и XAf) также будут гауссовскими. Из (П9.1.18) мы видим, что Cn(Z) есть сумма двух гауссовских случайных величин, возведенных в квадрат. Следовательно, Cn(Z) имеет ^-распределение с двумя степенями свободы. Отсюда немедленно получаются результаты разд. 6.3.3.
Для негауссовских процессов преобразования Xc(f) и Xs(f) представляют собой взвешенные суммы зависящих от времени случайных величин Xi. Поэтому вышеупомянутые формулы будут приближенно верны и для негауссовских процессов.
