Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
C22 (/) = і z (/) р = у-1X2 (Z) - J1 (/) н (Z) р =
= Ц\ХАПГ- 1Х\?^\?12] = 1]Ч^[1-КъЩ> (10.3.12)
где Kn (/) — выборочный спектр квадрата коэффициента когерентности. Но в разд. 9.1.2 было показано, что Kh(f) = 1, так что,
с22(/) = о.
Из равенства (10.3.11) следует, что имеющиеся у CZz(f) две степени свободы целиком затрачиваются на регрессионный член I Ji(/) I2- \H(f) —H(f)\2. Таким образом, из-за того, что выборочным автоспектру и взаимному спектру соответствует узкое спект*
Оценивание частотных характеристик
197
ральное окно, вся информация на каждой из частот / полностью уходит на оценивание функций усиления и фазы и не остается никакой информации на оценивание спектра шума. Сейчас мы покажем, что это положение можно исправить с помощью сглаживания.
10.3.3. Применение метода наименьших квадратов к сглаженным оценкам в частотной области
В этом разделе показано, что примененный в предыдущем разделе метод наименьших квадратов можно видоизменить так, что получатся эффективные сглаженные оценки функций усиления и фазы линейной системы, а также спектра шума YZz(f)- Затем мы покажем, как использовать эти оценки при построении критерия значимости для проверки гипотезы о равенстве нулю истинной когерентности и при выводе приближенных доверительных интервалов для функций усиления и фазы.
Предположим, что сглаженные оценки функций усиления и фазы получаются по формулам (10.3.7) и (10.3.8). Тогда (10.3.11) можно заменить на формулу, содержащую соответствующие сглаженные величины:
czz (/) ~ C12 (f) + Cn (!) і н(!)-н (!) \\ (ю.3.13)
Когда операция сглаживания применялась к (10.3.11), то предполагалось, что истинная частотная характеристика H(!) остается почти постоянной на интервале, равном ширине спектрального окна.
Как отмечалось в разд. 9.2, это предположение может быть неверным, если не произведено выравнивание рядов, в результате которого максимум модуля взаимной корреляционной функции достигается в нуле. Для того чтобы вывести приближенное распределение оценок, мы будем предполагать, что выравнивание рядов произведено.
Пусть в результате сглаживания авто- и взаимных спектров на выборочную оценку в каждой из оцениваемых частот приходится V степеней свободы. Тогда величина
vczz (f)
имеет %2-распределение с v степенями свободы, и (10.3.13) можно записать в виде
vczz<f) _ vcggt/) vCu(f) , -r,
rzz(» ~ rzzW ^ rzz'
Разложение (10.3.14) показывает, что случайная %2-величина с V степенями свободы в левой части равенства разлагается на две случайные j^-величины. Первая из них имеет v — 2 степени свободы
TZTW ~ -Т7Ж + Т-Ж™ ~ "</)I2" (10-3-14)
198
Глава 10
и может быть использована в качестве оценки спектра шума. Вторая имеет две степени свободы и может быть использована для. оценивания функций усиления и фазы. Этот результат следует из, того, что, как нетрудно показать с помощью методов разд. 3.2.5,. второй член в (10.3.13) всегда имеет две степени свободы независимо от степени сглаживания. Кроме того, можно показать, что. слагаемые в правой части (10.3.14) статистически независимы. Отсюда, пользуясь аддитивным свойством %2-распределения, выведенным в разд. 3.3.5, находим, что первый член в (10.3.13) имеет х2-распределение с (v — 2) степенями свободы.
Наконец, взяв аналогичную (10.3.12) формулу для сглаженных спектральных оценок, можно найти сглаженную оценку спектра, шума
C2z (f) = C22(T)[1-Щ2(П]. (10.3.15)
Полученными формулами мы воспользуемся сейчас для построения критерия значимости.
Критерий значимости для проверки гипотезы о равенстве нулю истинной когерентности. Предположим, что H (f) тождественно равна нулю для всех f, т. е. входной и выходной процессы полностью некоррелированы и, следовательно, теоретическая когерентность тождественно равна нулю.
Так как H (f) = 0, то в силу (9.3.12) и (10.3.7) второй член в правой части (10.3.14) равен
rzz(Z) - rzz(Z) • (10-3-16)
Разложение (10.3.14) показывает, что случайная величина (10.3.16) распределена приблизительно как %2 с двумя степенями свободы, а величина
rzz(» rzz(/>
распределена приблизительно как %2 с (v — 2) степенями свободы. Следовательно, если H (f) = 0, то случайная величина
(у-2) ^2(Z) 2[\-K]2(I)]
(10.3.17)
распределена приближенно как F2iV_2.
В качестве примера предположим, что выборочная оценка Ku (f) = 0,3 получена при использовании окна Тьюки, причем A= 1, L = 20, N = 100. Тогда
8 100
Оценивание частотных характеристик
199
2(1-К?2)
Из рис. 3.12 находим, что верхняя 95%-ная граница f2, и (0,95) равна 4,0. Так как наблюденное значение статистики (10.3.17) меньше 4,0, то можно заключить, что нет никаких признаков того, что истинная когерентность отлична от нуля.
Ситуации, когда требуется применять описанный выше критерий значимости, крайне редки. Его можно было бы, например, использовать в качестве грубого критерия наличия взаимной корреляции двух временных рядов, требующего меньше вычислений, чем описанный в разд. 9.1.2 критерий, использующий выборочную ко-спектральную функцию. Гораздо чаще возникает задача оценивания функций усиления и фазы и построения доверительных интервалов для них. Эти вопросы рассмотрены в следующем разделе.
