Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
12
jv
f—Af-H
m
(%-р.2) - 2 hm{xu_m-x\
m=0 "¦
(10.2.3)
190
Глава 10
по [X2 и hm, т = 0, 1, ..., М. Это приводит к нормальным уравнениям
N
2 (-? - X2) (Xlt-k - X1) =
= йо 2 (*к-*і) *,) + ... +hM Ъ{хи-м~ *i) Uu-*- X1),
t = M + l t = \
ft = 0, 1, 2, . . . M. (10.2.4)
Заметим, что уравнения (10.2.4) вполне справедливы лишь для белого шума Zt. Но так как первоначально корреляционная структура шума неизвестна, оценивание подразделяется на два этапа. Сначала из уравнений (10.2.4) вычисляются выборочные оценки hm и оценивается автокорреляционная функция остаточных ошибок. Зная эту функцию, можно предложить более эффективный способ оценивания, который учитывал бы корреляционную структуру шума. Пример такого подхода приводится в разд. 10.2.2.
Так как в рассматриваемом нами примере известно, что шум Zt белый, мы использовали нормальные уравнения (10.2.4) для оценивания параметров по ряду из 100 членов, полученных с помощью модели (10.2.1). В табл. 10.1 приведены выборочные оценки hm для значений M = 10, 12, 16. Сравнение со значениями теоретической функции отклика на единичный импульс показывает, что выборочные оценки плохие. Это объясняется большой дисперсией оценок и их сильной корреляцией, проявляющейся в заметных колебаниях hm при больших т.
10.2.2. Параметрическое оценивание функций отклика на единичный импульс
Правильный параметрический анализ во временной области включает в себя оценивание параметров модели (10.1.3) (см. [1]). Число параметров, которые нужны для такой модели, можно определить, увеличивая количество членов в обеих частях равенства (10.1.3) и оценивая каждый раз дисперсию и автокорреляционную функцию остаточных ошибок. Модель является адекватной, когда нет признаков корреляции остаточных ошибок (эти ошибки нужно проверить с помощью одного из двух критериев белого шума, обсуждавшихся в разд. 5.3.5 и 6.3.2).
Сначала мы испробовали модель вида
X2t - (X2 = а, (Х2,_, - H2) + а2 (Z2,_2 - (X2) + ?0 (Xn - X1) + Zt (10.2.5)
для данных, полученных из модели (10.2.1). Предполагая, что Zi1 — белый шум, нормальные уравнения можно вывести,
Таблица 10.1
Теоретическая функция отклика на единичный импульс и ее выборочные оценки для трех точек отсечения
"т
т 0 і 2 3 4 5 6 7
Теоретические значения 1,000 0,250 —0,438 —0,234 0,154 0,055 —0,066 —0,044
M = 10 1,056 0,342 —0,572 0,037 —0,141 0,373 —0,249 0,107
Af = 12 1,018 0,427 —0,716 0,210 —0,320 0.561 —0,443 0,313
M = 16 1,029 0,424 —0,692 0,198 —0,307 0,527 —0,438 0,284
т 8 9 10 п 12 13 14 15 16
Теоретические значения 0,022 0,028 —0,004 —0,014 —0,001 0,006 0,002 —0,002 0,000
M = 10 —0,289 0,220 —0,163
M = 12 —0,518 0,471 —0,417 0,201 —0,112
M= 16 —0,504 0,452 —0,412 0,181 —0,062 —0,031 0,089 0,074 —0,010
192
Глава 10
минимизируя сумму квадратов
N
2 U2t -Hs-O1 (*2<_, - Ji2) - <*2 (*2<-2 - Нг) - Po (*н - *і)]2
( = 3
по р2, а,, а2 и ?0.
Считая, что входной и выходной временные ряды стационарны, нормальные уравнения можно заменить более простыми приближенными уравнениями, как описано в разд. 5.4.1, что в результате приводит к приближенным равенствам
C22(I) « U1C22 (0) + U2C22 (l) + ?0cI2(-l),
C22 (2) « 6,C22 (1) + O2C22 (0) + ?oCi2 (— 2), (10.2.6)
C12 (0) ~ U1C12 (- 1) + U2C12 (- 2) + P0C11 (0).
Если взять для ковариации их выборочные оценки из табл. П10.2, то решение системы уравнений (10.2.6) будет следующим: U1 = = 0,072, U2 = —0,276, ?o= 1,182. Затем были вычислены остаточные ошибки по формуле
Zf = X2t — X2 — U1 (x2t-\ — X2) — U2 (x2t-2 — X2) — ?o {Xlt — X\) =
= (x2t - 0,21) - 0,072 (*a_, - 0,21) +
+ 0,276 {x2t_2 - 0,21) - 1,182 (xu - 0,17)
и сосчитаны их автокорреляции. Первые 10 значений выборочной автокорреляционной функции остаточных ошибок приведены в табл. 10.2. Эти автокорреляции противоречат гипотезе о том, что остаточные ошибки zt являются реализацией белого шума. Они наводят на мысль, что модель (10.2.5) нужно подправить и взять модель
X2t - Иг = Oi №<-! - Иг) + «2 (*2<-2 - Иг) +
+ ?o {Xu - xi) + Zt + O1Zf-, + O2Zf-J1
чтобы учесть свойства скользящего среднего, которые проявляют автокорреляции остаточных ошибок.
Таблица 10.2
Автокорреляции остаточных ошибок после подгонки динамической модели
к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
гzz (*) -0,14 0,31 -0,02 0,08 0,05 0,05 —0,07 —0,08 0,00 —0,12
При подгонке авторегрессионной модели для пары временных рядов вход — выход в том случае, когда на выходе имеется шум,
Оценивание частотных характеристик
193
легко видеть, что остаточные ошибки будут иметь свойства процесса скользящего среднего. Порядок этого процесса равен порядку системы, связывающей пару рядов. Следовательно, в нашем случае, для того чтобы остаточные ошибки стали белым шумом, нужно взять два параметра скользящего среднего: бі и 62-
Был выбран некоторый набор значений пар (61,62), и входной и выходной ряды пропускались через следующие фильтры:
Hit ~ °1#2<-1 — ^iVn-i — X2t, U\t ~ 0I^U-I — °2#U-2 = Xlt-
Затем для профильтрованных рядов угиУи при каждой паре значений (61,62) вновь подгонялась модель (10.2.5) и вычислялись выборочные оценки (10.2.6) для параметров af, a2 и ?0. Окончательно были выбраны те оценки, которые минимизировали сумму квадратов остаточных ошибок. Для нашего примера наилучшими значениями 61 и 62 оказались 61 = —0,3 и 62 = 0,8, а соответствующие им выборочные оценки параметров подправленной системы были равны: ai = 0,251, Ot2 = -—0,479, ?o= 1,10. Выборочная автокорреляционная функция для этой модели принимает малые значения, что подтверждает адекватность модели.
