Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 10.2. Выборочные авто- и взаимные корреляции искусственной линейной системы (/V = 100).
206
Глава 10
образом, доверительные интервалы дают полезную информацию при интерпретации графиков функций усиления и фазы.
Вычисление функции отклика на единичный импульс. Описанный в разд. 10.2 временной способ оценивания отклика на единичный импульс был сравнен с частотным способом. Для этого мы по
6(f)
G(F)-
2,0
1,0 0,8
0,6 OA
0,2
¦ 16
Верхняя 95%-ная доверительная граница
— Нижняя 95%-ная доверительная граница
0,0060,01 QOS
I I I I_I_I I I 1 I
0,0010,002Qm а008 0,02 0,040,060,1 0,2 OA O1S P1 гц
Рис. 10.3. Теоретическая функция усиления и ее выборочные оценки для искусственной линейной системы (N — 100).
выборочным оценкам взаимных спектров при L = 16 вычислили функцию отклика на единичный импульс
1/2 _ 1/2 _
hm = Г ЬзМ. cos 2nfт df + f -?^?- sin 2nfm df. (10.4.12) 0J Gti (/) о 11
Эта функция сравнивалась с выборочными оценками отклика на единичный импульс, полученными непосредственно и с помощью параметрического оценивания во временной области. Все эти оценки приведены в табл. 10.4. Мы видим, что оценка, полученная из спектров, более плавно меняется, чем при непосредственном оценивании во временной области, и хорошо согласуется с теоретическими значениями. Однако она не так хороша, как параметрическая оценка.
Рис. 10.4. Теоретическая фазовая функция и ее выборочные оценки для искус' ственной линейной системы (N = 100).
О 0,125 0,25 0,375 0,5 f, ей
Рис. 10.5. Теоретический спектр когерентности и его выборочные оценки для искусственной линейной системы (N = 100).
208
Глава 10
В соответствии с рекомендацией, предложенной в [4], значения h,n были вычислены также для отрицательных т, чтобы определить, является ли система физически реализуемой. Наибольшим из них оказалось значение = 0,11, в то время как остальные не превос-
10,0 6,0
2,0 1,0 0,5
Полоса частот окна ¦+-24-*-
*-----8-----
_1_
О,/25 0,25
0,375
0,5 Ягц
Рис. 10.6. Теоретический спектр остаточных ошибок и его выборочные оценки для искусственной линейной системы (N = 100).
ходят по модулю 0,1. Отсюда мы заключили, что выборочные оценки функций усиления и фазы приближенно описывают физически реализуемую систему.
Таблица 10,4
Сравнения трех способов оценивания функции отклика на единичный импульс
т 0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Теоретические значения 1.000 0,250 -0,438 —0,234 0,154 0,055 -0,066 —0,044 0.022 0,028 -0,004
Параметрический способ 1,100 0,276 -0,458 —0,235 0,160 0,153 -0,038 -0,083 -0,003 0,039 0,011
Спектральный способ 1,108 0,271 —0.468 -0,184 0,139 0,120 —0,87 —0,40 —0,002 0,017 —0,060
Непосредственный способ 1,056 0,324 —0,572 0,037 -0,141 0,373 -0,249 0.107 -0,289 0,220 -0,163
10.4.3. Анализ данных о газовой печи
Описание данных. Изображенные на рис. 8.3 данные получены при наблюдении за работой газовой печи, вырабатывающей углекислый газ. Выходной переменной была концентрация углекис-
Оценивание частотных характеристик
209
лого газа, измерявшаяся в процентах по отношению к выходу газа из печи. Эта концентрация зависит от двух входных переменных: скорости воздуха и скорости газа. В описываемых здесь экспериментах входная скорость воздуха была фиксирована, так что можно было определить частотную характеристику, связывающую входную скорость газа с выходной концентрацией.
Имелись непрерывные измерения как входного, так и выходного процессов. При просмотре непрерывных записей не было обнаружено сколько-нибудь заметных изменений на интервалах меньше
Рис. 10.7. Выборочные взаимные корреляции исходных данных о газовой печи и их первых разностей (N = 296).
9—10 сек, поэтому отсчеты на записях были взяты через 9 сек. В результате получилось 296 пар точек, которые приведены в Приложении П10.1.
Оценивание функций усиления и фазы. Ниже приводится описание процесса оценивания, в котором использовались основные стадии, описанные в разд. 9.4.2 и 10.4.1.
7. Стадия предварительных решений
а) При проверке данных (рис. 8.3) не обнаружено каких-либо явных трендов. Тем не менее были сосчитаны авто- и взаимные корреляции как исходных данных, так и их первых разностей по формулам (9.3.13), (9.3.14).
б) Частота Найквиста, соответствующая интервалу отсчета Д = 9 сек, равнялась Vis Щ-
в) Предварительно было решено вычислять корреляции до максимального запаздывания Lmax = 80.
2. Первая стадия вычислений
Авто-и взаимные корреляции были сосчитаны, нанесены на график и подвергнуты анализу. Взаимные корреляции исходных данных и их первых разностей изображены на рис. 10.7. Приближенные
210
Г лава W
значения ковариаций первых разностей приведены в Приложении П10.1.
3. Стадия промежуточных решений
а) Из графика взаимной корреляционной функции исходных данных видно, что имеется тренд. Поэтому было решено использовать корреляции первых разностей.
б) Взаимная корреляционная функция первых разностей имеет максимум, когда сдвиг S равен 5.
kG(f), L=30
0,0006 0,006
qoooi цооог o,om QWi о,оогQm аоі о,ог омo,oss г, ец
