Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 10.8. Выборочная оценка функции усиления для данных о газовой печи
(N = 296).
в) Принимая во внимание затухание этой взаимной корреляционной функции, для оценивания спектров были выбраны следующие значения точек отсечения: L = 20, 30 и 40.
4. Вторая стадия вычислений
После применения выравнивания со сдвигом 5 = 5 были вычислены автоспектры, функции усиления и фазы и спектр шума для указанных выше точек отсечения. График функции усиления показан на рис. 10.8, фазовой функции — на рис. 10.9 и спектра шума — на рис. 10.10.
5. Стадия интерпретации
Метод стягивания окна показывает, что очень незначительные изменения этих спектров получаются при изменении L от 30 до 40. На всех перечисленных рисунках изображены спектры, соответствующие значениям L = 30 и 40, и мы видим, что уменьшение поло-
Оценивание частотных характеристик
211
сы частот окна вызывает небольшие изменения в диапазоне до 0,02 гц, но для больших частот возникают резкие колебания.
Интерпретация выборочной оценки функции усиления. График Бодэ на рис. 10.8 показывает, что наблюденным данным соответствует система второго порядка. Выборочные оценки постоянных времени, полученные при под- f
гонке всевозможных систем второго порядка до тех пор, 0 пока не было получено хорошего визуального согла- -во сия, оказались равными Ti = 6,7 сек и T2 = 13 сек. -зео Отметим, что 95%-ные доверительные интервалы рез-ко возрастают для частот, превосходящих 0,025 гц, из-за уменьшения коэффициента когерентности. Выборочная оценка функции усиления на нулевой частоте
0,0139
0,0278
0,055
-Выборочная оценка, L-30
---Оценка после учета подобранной
задержки =31 сек
Рис. 10.9. Выборочные оценки фазовой функции для данных о газовой печи (N = 296).
равна 0,31. Следовательно, усиление постоянной составляющей в системе равно 0,31.
Интерпретация выборочной оценки фазовой функции. Дискретная система второго порядка с постоянными времени 7\ = 6,7 сек и T2. = 13 сек имеет следующую фазовую функцию:
Ф12(/) = arctg
0,13 sin 2л/- 0,76 sin 4л/ 1 - 0,76 cos 2л/ + 0,13 cos 4я/ '
0</<у- (10.4.13)
Выборочная оценка фазовой функции при L = 30, показанная на рис. 10.9, намного больше (10.4.13), что наводит на мысль о том, что в системе имеется время нечувствительности, или задержка. Разность между выборочной оценкой фазовой функции и (10.4.13) была нанесена на график, и к этой разности была подобрана приближающая ее прямая. Этой прямой при / = 0,055 гц соответствовало значение ф = —11, поэтому была взята задержка d = 11/(2я-•0,055) = 31 сек. Полученная после учета этой задержки фазовая функция F(I) = Fi2(I) —62я/ показана на рис. 10.9 пунктирной линией.
Таким образом, работу газовой печи можно описать с помощью системы второго порядка, имеющей усиление постоянной составляющей 0,31 ed., постоянные времени 6,7 и 13 сек и задержку 31 сек.
Интерпретация спектра шума. Поскольку мы использовали первые разности от исходных данных, шум zr для которого
212
Глава 10
производилось оценивание спектра, связан с исходным шумом zt соотношением z't = zt — zt_v Отсюда, пользуясь формулой (6.2.17),
выборочную оценку спектра шума в исходных данных CZzif)
можно выразить через выборочную оценку спектра шума после взятия первых разностей Сг'&' (/)"•
Спектр Czzif) показан на рис. 10.10, откуда видно, что он похож на белый шум, пропущенный через данную систему.
Дальнейшие примеры оценивания частотных характеристик.
Пример применения методов спектрального анализа взаимных спектров для оценивания частотной характеристики теплообменника приведен в [2]. Ряд интересных применений такого рода описан также в сборнике статей [3].
Общий вывод состоит в том, что спектральные методы часто очень полезны при выдвижении динамических моделей, описывающих физические системы, как это было в примере с газовой печью. Однако, поскольку при спектральном анализе для каждой частоты нужно оценивать свои параметры, эффективность этих методов не-
Оценивание частотных характеристик
213
велика. Более убедительные результаты обычно можно получить с помощью параметризации задачи, рассматривая модели типа (10.1.3).
ЛИТЕРАТУРА
1. Box G. Е. P., Jenkins G. M., Time Series Analysis Forecasting and Control, Holden-Day, San Francisko, 1970.
2. Jenkins G. M., An example of the estimation of a linear open-loop transfer function, Technometrics, 5, 227 (1963).
3. Matusita K. (ed.), Studies of the statistical estimation of frequency response functions, Reprinted from Ann. Inst. Stat. Math., Suppl. Ill (1964).
4. Akaike H., Some problems in the application of the cross-spectral method, Seminar on Spectral Analysis of Time Series, Madison, Wisconsin, 1966. Proc. of an Advanced Seminar on Spectral Analysis of Time Series, B. Harris (ed.), John Wiley, New York, 1967.
ПРИЛОЖЕНИЕ Ш0.1
ДАННЫЕ И ИХ КОВАРИАЦИИ ДЛЯ ДВУХ ЗАДАЧ ОЦЕНИВАНИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Таблица П10.І
Вход и выход искусственной линейной системы, N — 100
1-10 -0,88 -0,12 -0,89 -1,38 -0,08 1,04 2,14 0,36 -1,11 -1,78
