Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 2" -> 60

Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 2 — М.: Мир, 1972. — 285 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt21972.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 85 >> Следующая

10.3.4. Доверительные интервалы для функций усиления и фазы
Полученными в предыдущем разделе формулами можно воспользоваться, чтобы вывести приближенные доверительные интервалы для функций усиления и фазы. Из (10.3.14) получаем
Prj^?ujm^mj!.<f2tv.2(1_e)}=1_a.
Отсюда находим доверительную область для неизвестной функции H(f) с уровнем доверия 1 — а:
I H (7) - Я (I) Р< 2 °*2® f2, v_2 (1 - а). (10.3.18) v-2 C11(Z)
Из (10.3.18) получаем доверительную область для функций усиления и фазы:
(G cos<p — G cos F12)2 + (G sin ер — G sin F12)2 ^ 2 с?? (Y) ,
<-- -=^-?- f2, v_2 (1 - a), (10.3.19)
V — 2 С, п Ш
где опущен аргумент f. Если рассматривать величины Gcoscp, G sin ф как новые параметры, то область (10.3.19) представляет собой круг радиуса k, как показано на рис. 10.1, а. Если отобразить этот круг на плоскость (G, ф), то он перейдет в область, показанную на рис. 10.1,6. В качестве грубого приближения эту область
200
Глава 10
можно заменить почти покрывающим ее прямоугольником. В результате для функции усиления получится доверительный интервал от ± tr, а для функции фазы доверительный интервал будет pa-
tf sin у>
6 cos р
¦ Рис. 10.1. Доверительные области для функций усиления и фазы.
вен углу, образованному прямыми OP и OQ. Эту область можно записать с помощью неравенств
G-G|<ft, sin| ф-ф|<4-.
G
Учитывая, что
v-2
772 /:
Ki
2, V-2
(1-а),
100(1 — а) %-ные доверительные интервалы для G и ф можно записать в виде
1 ±
v-2
/г, v-2 U -«)
1 - /Cf2 (Л
Щ2 (п
(10.3.20)
Оценивание частотных характеристик
201
arcsi
2, v-2
О-в)-=.
1-*12(/)
*12 (/)
(10.3.21)
Заметим, что доверительные интервалы уменьшаются с увеличением числа степеней свободы и когерентности Клч (/).
Пример. Предположим, выборочное значение Клі равно 0,8 и на выборочные оценки усиления G = 10 и фазы F\z = 70° приходится V = 17 степеней свободы. Тогда 95%-ные доверительные интервалы (10.3.20) и (10.3.21) имеют вид
10
і - Y4(3,68)
0,2 08
<G< 10
1 +
70
т. е.
arc
/^(3.68)(?)].
sin l/4 (3,68) (-Ц) < ф < 70 + arcsin l/± (3,68) (Ц) ,
6,7<G<13,3, 51°<ф<89°.
Смещение оценки функции усиления. Доверительные интервалы (10.3.20), (10.3.21) для функцпй_ усиления и фазы получены в предположении, что оценки G(f) и F(f) —несмещенные, что верно лишь с некоторым приближением. Как показано в разд. 9.3.3, смещение оценок спектров фазы и когерентности можно уменьшить, выравнивая временные ряды. Сейчас мы покажем, что смещение оценки функции усиления также можно уменьшить с помощью выравнивания. Чтобы показать это, воспользуемся методом, аналогичным методу разд. 9.3.3.
По определению смещение оценки функции усиления равно
B(f) = E[G(f)-G(f)] = E
An (Ї)
Cn if) J
«12 (/) Г„ (/)
(10.3.22)
Считая, что смещение оценки входного спектра пренебрежимо мало, (10.3.22) можно переписать в виде
B(f)
E IA12Jf)]-au U) Г„ if)
так что нужно определить лишь смещение E[A 12(f)] — ai2(/). Действуя так же, как и в разд. 9.3.3, можно получить смещение оценки функции усиления при использовании окна Тьюки
B(f) - ^^[а*|-аІ2(ф</2))2 + 2а('>ф<2»8іп2ф12]. (10.3.23)
Заметим, что в этом выражении появляется тот же член а12(ф(,2')2, который входил в выражение (9.3.26) для смещения оценки
202
Глава 10
спектра когерентности. Следовательно, смещение оценки функции усиления уменьшается при выравнивании по тем же причинам, которые указаны в разд. 9.3.
10.4. ПРИМЕРЫ ОЦЕНИВАНИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
В этом разделе мы применим методы, развитые в разд. 10.3, для оценивания частотных характеристик искусственных рядов и рядов, полученных из реальных физических систем. Сначала мы кратко опишем стадии оценивания частотных характеристик.
10.4.1. Практическая методика оценивания частотных характеристик
Формулы оценивания в дискретном случае. Вычисления, необходимые для оценивания частотных характеристик, почти совпадают с вычислениями при оценке взаимных спектров, описанными в разд. 9.3.1. Дополнительно нужны лишь следующие вычисления:
/. Вычисление выборочной оценки функции усиления
G(f) = ^-. (10.4.1)
2. Вычисление выборочной оценки спектра остаточного шума
Cti (Z) = C22 (Z)[1-RUf)I (10.4.2)
3. Вычисление приближенных 100(1 — а)%-ных доверительных интервалов для функции усиления
г--—
G(f)±G(f)j/ -i-ffcv_2(l-a)(i^^-J. (10.4.3)
где V — число степеней свободы, соответствующее степени сглаживания выходного спектра, и f2, v-2 (1 — а) есть 100(1—сс)%-ный квантиль /•'-распределения.
4. Вычисление приближенных 100(1 — а)\-ных доверительных интервалов для функции фазы
Fl2(f) ± aresin |/Z2, v-2(l-a)^-i^f|pj. (10.4.4)
Стадии оценивания функций усиления и фазы. Пять стадий, описанных в разд. 9.4.2 при оценивании взаимных спектров, применимы также и при оценивании усиления и фазы. Существенные изменения имеются лишь во второй стадии вычислений, которая должна теперь выглядеть следующим образом.
Оценивание частотных характеристик
203
Вторая стадия вычислений
а) Вычисляются два автоспектра, спектр остаточного шума и функции усиления и фазы, причем используются взаимные корреляции выравненных рядов (9.3.28).
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed