Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
P (К) = ARCS IN (G (Ю/GAIN (К)), GU (К) = GAIN (К)+ G (К), GL(K) = GAIN(K)-G(K), PU (К) = PHASE (К)+ P (К), PL(K) = PHASE(K)-P(K).
15. Вычислить логарифмы в правых частях равенств и обозначить полученные величины так, как указано в левых частях:
LOGSPEC(K, I) = LOGlO(SPEC(K, 1)),
LOGSPEC(K, 2) = LOG 10(SPEC(K, 2)),
LOGRESID (К) = LOG 10 (RESID (К)),
LOGGAIN (К) = LOG 10 (GAIN (К)),
LOGGU (К) = LOG 10 (GU (К)),
LOGGL (К) = LOG 10 (GL (К)).
16. Напечатать: автоспектры (входные, выходные и остаточного шума), квадрат спектра когерентности, функции усиления и фазы, а также верхние и нижние 95%-ные доверительные границы для функций усиления и фазы.
17. Построить графики: автоспектров (входных, выходных и остаточного шума) в логарифмическом масштабе в зависимости от частоты, фазовой функции с 95%-ными доверительными интерва-
* Для f2 о_2 (0,95) использована следующая приближенная формула: h, в-2 (0,95)=3 + -^3-+ (D-V' D>4< где (D — 2) — число степеней свободы. — Прим. перед.,
Оценивание частотных характеристик 221
лами в зависимости от частоты, логарифма функции усиления с 95%-ными доверительными интервалами в зависимости от логарифма частоты. Для разных точек отсечения графики соответствующих спектров построить вместе.
Замечание. Из-за того что фаза может делать резкие скачки от + 90 до —90°, графики фазовой функции иногда очень трудно разобрать, особенно после наложения нескольких графиков, соответствующих точкам отсечения, а также при использовании логарифмического масштаба по частоте. Из-за этого предлагается каждый фазовый спектр строить на отдельном месте и в зависимости от частоты, а не от логарифма частоты.
Глава 11
МНОГОМЕРНЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
В этой главе методы анализа двумерных временных рядов, развитые в гл. 8—10, обобщаются на случай произвольного числа временных рядов. Показано, как можно описать в частотной области q временных рядов, которые не являются причиной и следствием по отношению друг к другу, и как оценить многомерную частотную характеристику системы с q входами и г выходами. До сих пор мы оставляли в стороне теорию матриц, чтобы свести к минимуму математический аппарат, необходимый для понимания основных идей спектрального анализа. Однако дальнейшее изложение невозможно без использования матричных методов.
В разд. 11.1 некоторые из понятий, применявшихся в анализе одномерных и двумерных рядов, заново формулируются в терминах теории матриц. В частности, дается определение матрицы ковариации временного ряда и показывается, что спектр тесно связан с ее собственными числами. В разд. 11.2 вводится многомерная линейная система. Линейный многомерный процесс определяется как выход такой системы, когда на ее входы поступают несколько некоррелированных белых шумов. Важными частными случаями многомерных линейных процессов являются двумерные процессы авторегрессии и скользящего среднего.
В разд. 11.4 изложены основные идеи многомерного спектрального анализа и оценивания многомерных частотных характеристик. Для изложения этих идей потребовалось заново рассмотреть в разд. 11.3 важнейшие понятия многомерной регрессии и многомерного статистического анализа. Наконец, в разд. 11.5 обсуждаются наиболее важные практические аспекты оценивания многомерных частотных характеристик и приводится пример анализа данных турбогенератора, имеющего два входа и два выхода.
Обычно векторы обозначают строчными буквами, а матрицы — прописными. Однако в этой книге мы не сможем всегда пользоваться этим правилом, поскольку строчными буквами мы обозначили величины во временной области, а прописными — в частотной. Мы будем обозначать векторы и матрицы жирным шрифтом. По возможности прописными жирными буквами будут обозначаться матрицы, но иногда такие буквы будут относиться и к векторам. Точный смысл обозначения будет ясен в каждом конкретном случае из контекста.
Многомерный спектральный анализ
223
11.1. СВОЙСТВА МАТРИЦЫ КОВАРИАЦИЙ
11.1.1. Матрица ковариаций действительного случайного процесса
В разд. 3.1.5 было показано, что зависящие от вторых моментов свойства набора случайных величин определяются их матрицей ковариаций (3.1.20). Поскольку случайный процесс содержит бесконечное множество случайных величин, его свойства, зависящие от моментов второго порядка, определяются матрицами ковариаций наборов значений процесса в произвольные моменты времени tu .. ., tN. Для дискретного стационарного процесса и для равноотстоящих отсчетов по времени мы будем иметь
Cov [X (f;), X (t j)] = а2р (і -/), (11.1.1)
где p(k) —автокорреляционная функция. Матрица ковариаций, соответствующая N таким отсчетам, представляет собой таблицу, в которой на пересечении і-й строки и /-го столбца стоит элемент Cov [X(ti), X(tj)]. Таким образом, пользуясь равенством (11.1.1), матрицу ковариаций можно записать в виде
1 P(I) Р(2) ... P(ZV-I)'
р(1) 1 р(1) ... p(tf-2)
P(2) P(I) 1 ... Р(ЛГ-З)
p(/V-l) p(N-2) p(N-3)
1
(11.1.2)
Матрица, обладающая тем свойством, что ее элементы на линиях, параллельных главной диагонали, равны (как, например, в матрице (11.1.2)), называется тёплицевой.
