Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
п-1
К = 1 + 2 P (i) cos -?! + р (¦J-) cos nk. (11.1.18)
Многомерный спектральный анализ
227
(11.1.19)
Все собственные значения, за исключением значений с индексами k — N и k = Л72, попарно равны, а именно Kh = KN-h- Собственные векторы, соответствующие значениям Kh и Ллг-й, имеют вид
h = (cos—^-, cos-дт-.....cos2nkI,
,. / . 2я? . 4яА> . п Л
l'N-k = ^sin—^r-, sin-дг-, sin2n?j,
т. е. они представляют собой синусоидальную и косинусоидальную волны с частотой fh = k/N, k = 0, 1, ..., п.
Отсюда, применяя преобразование (11.1.8), получаем некоррелированные величины
N
U (i) = Xt cos , і = 0, 1, ..., п, t-i
N
V(I) = ^X1Sm—-, і= 1, 2, 1.
t=\
Далее, с помощью (11.1.12) находим
п га — I
Xt = S ?/ (/) cos ^f- + J К (0 sin ^i- (11.1.20) и с помощью (11.1.13) получаем
п-1
Var №] = Я0 + 2 S Я/ + Я„. (11.1.21)
Равенство (11.1.18) показывает, что при N—*<x> собственное число Kh-*~2Y(klN), т. е. собственные числа выписывают кривую спектра. Аналогично, при N-*-oo равенства (11.1.19) и (11.1.20) переходятв
OO
U (f) = S *,cos2n/j,
'Г (П-1.22)
f(/)= S ^sin2jt#
V2 V2
^ = J (7 (/) cos 2nft df+ j" К (f) sin 2я# rf/. (11.1.23)
о о
Равенство (11.1.23) показывает, что процесс Xt можно представить в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных волн
228
Глава 11
в непрерывном диапазоне частот. Амплитуды (11.1.22) этих волн сами образуют ортогональный (некоррелированный) процесс, или процесс с ортогональными приращениями, обсуждавшийся в разд. 5.2.2.
11.1.3. Матрица ковариации комплексного случайного процесса
В разд. 8.2.1 было показано, что при спектральном анализе нескольких временных рядов появляются комплексные случайные величины, например случайная оценка, соответствующая выборочному взаимному спектру двух процессов. Хотя можно обойтись действительными величинами, рассматривая отдельно синфазную и сдвинутую по фазе компоненты, большее математическое изящество достигается при их совместном использовании как вещественной и мнимой частей некоторой комплексной величины. В этом разделе излагается исчисление комплексных случайных величин.
Среднее значение и ковариация комплексных случайных величин. Комплексная случайная величина определяется равенством
X1 = U^jV1,
где Ui, Vi — действительные случайные величины. С помощью (3.2.15) находим среднее значение этой комплексной величины
E[X1] = E[U1] +JE[V1].
Ковариация двух комплексных случайных величин определяется равенством
Cov [Xi ,Xl] = E [(Xi -E[Xi])[X2-E [Х2])] =
= Cov [(U1+JV1), (U2-JV2)] =
= Cov[t/„ U2] + Cov[Vu V2] +
+ /{CoV[K1, U2]-Cov[Ui, V2]}, (11.1.24)
где звездочки обозначают комплексное сопряжение. Мы видим, что ковариация комплексных величин будет, вообще говоря, комплексным числом, но дисперсия — всегда действительное число, так как
Var[X,] = Cov[Ji, = Var [?/,) +Var [К,]. (11.1.25)
Ковариация двух действительных величин симметрична, в то время как ковариация комплексных величин удовлетворяет соотношению
Cov[Xi, xI] = [Coy[X2, Xi]Y, (11.1.26)
которое получается непосредственно из определения (11.1.24).
Матрица ковариации комплексных случайных величин. Предположим, что X'= (Xi, X2,..., Xif)—вектор-строка, состоящая из
Многомерный спектральный анализ
229
N комплексных случайных величин. Тогда матрица ковариаций этих величин имеет вид
Vn = Е[(Х-Е[Х])(Х*-E[XT])'] =
VaT[X1] Cov[Xi, Xl] ... Cov[X1, Xn]
Cov [X2, X*] Var [X2] ...Cov [X2, Xn]
Cov [Xn, Xl] Cov Гл-дг, Xl] .. . Var [Xn]
Из (11.1.26) следует, что матрица Vjv— эрмитова, а, кроме того, она положительно полуопределенна, т. е. все главные миноры V,v неотрицательны. Например, при N = 2 имеем
откуда
Var [Xx] Cov [X1, Xl Cov [X2, Х*х] Var [X2]
I Cov [X1, ХІУ2
:0.
< 1.
(11.1.27)
12 Var [X1] Var [X2]
Таким образом, х22 похож на квадрат коэффициента корреляции и называется квадратом коэффициента когерентности двух комплексных величин.
Авто- и взаимные ковариационные функции комплексных процессов. Предположим, что средние значения комплексных процессов Xx(t) и X2(t) равны U4 и р.2 соответственно. Тогда автоковариационные функции этих процессов определяются равенствами
Y„ (и) = E [(X1 (t) - VL1) (X] (t + u)- и?)], /=1,2, (11.1.28)
а их взаимная ковариационная функция
Y12 (и) = E [(X1 (t) - и,) (Х; (/ + и) - IiI)]. (11.1.29)
Из (11.1.26) следует, что
V«(") = Y«(- и), Y12(W) = YJi (- и).
Для действительных процессов (11.1.30) сводится к равенствам
Yu(") = Yu (— ")>
' , (11.1.31)
Yi2(") = Y2i(-").
что совпадает с формулами (8.1.2) и (8.1.3), приводившимися ранее,
(11.1.30)
230
Глава II
С помощью (11.1.24) авто- и взаимные ковариации комплексных процессов можно выразить через ковариации соответствующих действительных процессов. Таким образом, мы получаем
УX1X, (") = Vu.cr, (") + YvlVl (и) + / [УV1U, (и) - УU1V, («)} •
Спектры и взаимные спектры комплексных процессов. Рассуждения, приведенные для действительных процессов в разд. 6.2.1 и 8.3.3, полностью применимы и к комплексным процессам. Таким образом, взаимный спектр комплексного процесса определяется равенством
