Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 2" -> 61

Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 2 — М.: Мир, 1972. — 285 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt21972.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 85 >> Следующая

б) Строятся графики перечисленных выше спектров для нескольких точек отсечения. Оба автоспектра и спектр остаточного шума нужно строить в логарифмическом масштабе. Затем следует построить графики Бодэ для функций усиления и фазы, т. е. логарифм функции усиления нужно отложить в зависимости от логарифма частоты и фазовую функцию — в зависимости от логарифма частоты.
в) В некоторых случаях, возможно, потребуется построить график преобразованной когерентности.
Последнее изменение состоит в том, что на стадии 5в доверительные интервалы для функции усиления получаются по формуле (10.4.3), для фазовой функции — по формуле (10.4.4) и для коэффициента когерентности — по формуле (9.2.23). Логическая схема вычислений выборочных оценок частотных характеристик приводится в Приложении П10.2.
10.4.2. Анализ частотных характеристик искусственных систем
С помощью искусственных рядов была имитирована линейная система второго порядка. Выходные данные x2t получались с помощью модели (10.2.1), а именно
X2t = Xt + Zt
и
Xt = 0,25J^1 - 0,5J,_2 + Xlt, (10.4.5)
где Zi — белый шум, a Xit — вход.
В качестве входных данных xlt использовалась реализация процесса авторегрессии второго порядка (7.1.9), т. е.
Хя = Хц-і — 0,5Хц-2 + Z\.
Входные и выходные данные приведены в Приложении П10.1. Теоретический спектр входного процесса равен
Г"^=2,25-Зсоз22я/ + соз4п/' 0<f<0,5*4. (10.4.6)
Этот спектр показан на рис. 7.7 сплошной линией. Поскольку шум белый, его спектр имеет вид
^Zz (/) = 2, 0</<0,5. (10.4.7)
204
Глава 10
Теоретическая частотная характеристика линейной системы (10.4.5) равна
= 1-0,25.-^+0,?-^ ' -l<f<i- (10Л8) Отсюда теоретические функции усиления и фазы имеют вид
G (/) = -—= 1 (10.4.9)
/1,3125-0,75 cos 2я/ +cos 4я/
и
/і\ і sin 2л/(4 cos 2я/— 1) /1Г1 .
<p(T) = arctg 2 + cos^/(4cosL/-i) • (10-4Л°)
Функция усиления (10.4.9) показана сплошной линией на рис. 10.3, а фазовая функция (10.4.10)—сплошной линией на рис. 10.4. Квадрат теоретического коэффициента когерентности равен
у2__!- ПО 4 1 л
12 1 +(1 3125-0,75 cos 2я/ +cos4я/) (2,25-3cos2я/ +cos 4я/) • V1^-11J
Эта функция показана сплошной линией на рис. 10.5. Видно, что коэффициент когерентности весьма высок в диапазоне от 0 до 0,25 гц, где велики входной спектр и функция усиления. Однако когерентность очень мала в диапазоне от 0,3 до 0,5 гц, где входной спектр и функция усиления системы- также малы. Следовательно, можно ожидать, что для диапазона от 0 до 0,25 гц получатся хорошие оценки функций усиления, фазы и спектра когерентности, а для диапазона от 0,3 до 0,5 гц — плохие.
Поскольку используемые временные ряды были искусственными, многие стадии из описанной в разд. 9.4.2 и разд. 10.4.1 методики не нужны. Тем не менее поучительно проследить все эти стадии подряд, как если бы данные были получены из реального процесса.
/. Стадия предварительных решений
а) Данные не обнаруживают никаких трендов (что можно было бы предвидеть, ибо вход и выход были получены с помощью стационарных моделей). Поэтому цифровая фильтрация для устранения трендов не нужна.
б) Расфильтровывать данные на отдельные частотные полосы не требуется.
в) Так как входной и выходной ряды содержат по N = 100 членов, авто- и взаимные корреляции вычислялись первоначально до запаздывания 30.
2. Первая стадия вычислений
Вычислялись авто- и взаимные корреляции исходных данных и их первых разностей. Корреляции исходных данных показаны на рис. 10.2, а ковариации приведены в Приложении П10.2.
3. Стадия промежуточных решений
а) Корреляции исходных данных были использованы для спектрального анализа.
Оценивание частотных характеристик
205
б) Так как взаимная корреляционная функция имела максимум в нуле, выравнивания не потребовалось.
в) Исходя из быстроты затухания корреляционных функций, для дальнейшего анализа были выбраны следующие точки отсечения: L = 8, 12 у 16.
4. Вторая стадия вычислений
а) С помощью окна Тьюки были вычислены автоспектры, функции усиления и фазы, спектры когерентности и шума без применения выравнивания.
б) На рис. 10.3—10.6 показаны соответственно функция усиления, фазовая функция, квадрат спектра когерентности и спектр шума при L = 8, 12 и 16.
5. Стадия интерпретации
а) Метод стягивания окна показывает, что во всех спектрах происходят некоторые изменения при переходе от L = 8 к L = = 12, но при дальнейшем увеличении L до 16 изменения малы. Поэтому окончательно было выбрано L = 16, Отметим, что выборочные оценки функций усиления и фазы и квадрата спектра
когерентности очень хорошо согласуются с теоретическими значениями в диапазоне частот от 0 до 0,35 гц, но для более высоких частот появляются большие расхождения, так как коэффициент когерентности резко уменьшается. Как видно из рис. 10.6, выборочная оценка спектра остаточного шума превосходно согласуется с теоретическими значениями во всем диапазоне от 0 до 0,5 гц.
б) Доверительные интервалы для функций усиления и фазы, вычисленные по формулам (10.4.3) и (10.4.4), показаны на рис. 10.3 и 10.4. Видно, что они резко увеличиваются для частот, превосходящих 0,35 гц, из-за уменьшения коэффициента когерентности. Таким
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed