Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 9.23. Выборочные оценки фазового спектра для первых разностей от данных о токах турбогенератора (N = 1000).
и спектр рядов без выравнивания. Видно, что значение S = —2 весьма эффективно устраняет линейный фазовый сдвиг между двумя составляющими тока.
ЛИТЕРАТУРА
1. G оо d m а п N. R., On the joint estimation of the spectra, co-spectrum and quadrature spectrum of a two-dimensional stationary Gaussian process, Scientific Paper 10, Engineering Statistics Laboratory, New York University, 1957.
2. Jenkins G. M., Cross-spectral analysis and the estimation of linear open loop transfer functions, Chapter 18 of Time Series, M Rosenblatt, ed. John Wiley, New York, 1963.
3.HaId A., Statistical Theory with Engineering Applications, John Wiley, New York, 1952, p. 609. (Русский перевод: X а л ь д А., Математическая статистика с техническими приложениями, под. ред. Линника, ИЛ, M., 1956.)
4. G г a n g е г С. W. J., Spectral Analysis of Economic Time Series, Princeton University Press, Princeton, 1964.
5. A k а і k e H., Yamamouchi Y., On the statistical estimation of frequency response functions, Ann. Inst. Stat. Math., 14, 1 (1962).
6. Stanton K- N., Measurement of turboalternator transfer functions using normal operating data, Proc. Inst. Electr. Engrs., 110, 11 (1963).
ПРИЛОЖЕНИЕ П 9.1 КОВАРИАЦИЯ ОЦЕНОК КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
са(и) =
В этом приложении выводится формула для ковариации оценок ковариационной функции (8.2.3). Оценки ковариационной функции можно записать в симметричном виде
(Г-|«1)/2
-(Г-|и|)/2 ЩУ.1.1.)
О |и|>7\
Предполагается, что случайные процессы Xi(t), i=\, 2, 3, 4, имеют следующие свойства:
E[X1V)] = 0, /=1,2,3,4, (П9.1.2)
Cov [X1 (t), X1 (t + и)] = у„ (и), / = 1, 2, 3, 4, (П9.1.3) — оо ^ и ^ оо,
и
Cov [X1 (t) X1 (t + U1), Xk (v) X1 (v + U2)] = уік (v -1) Y/i (v -1 + U2 - «,) + + Vi,(v-t + U2)уjk(v-t-Ul) + K(v-t, U1, u2), (П9.1.4)
где K — четвертый совместный кумулянт. Взаимный спектр процессов Xi(t) и Xj(t) определяется соотношениями
OO
г</(/)= J Y,7 (») е-du, (П9.1.5)
— OO
OO
Yw(и)= J Vu(t)eWdf. (П9.1.6)
— OO
Вывод формулы для ковариации. Из (П9.1.1) и (П9.1.4) кова-риация оценок Ci1(Ui) и сы(и2) равна
Cov [ciS (U1), Cki (и2)] =
(Г-1 «,1)/2 <Г—I U31)/2 -(Г-| «,1)/2 -(Г-|Ы2|)/2
+ Vu(v-t + у ik (v-t- +K(v-t,Ul, и2)] dv dt.
(П9.1.7)
Оценивание взаимных спектров
175
Замена переменных v — t = г, t = s преобразует область интегрирования из прямоугольника в параллелограмм, как показано на рис. 5.11. Этот параллелограмм можно разделить на 3 области интегрирования, которые будем обозначать (1), (2) и (3). В результате формулу (П9.1.7) в случае |«2| > можно переписать в виде
COw[C11(U1), сы(и2)]
1
J2
(Г-|И|| + |иг|)/2
(Г-1 иЛУ2
\ y(r)dr J" ds+ [область (1)]
(I Иг 1-І Ml 1)/2 -(T-IU11)/2
(Iu2I-Iu, 1)/2 ЦТ-\и,\)/2]-г
+ Ji J y(r)dr J ds+ [область (2)]
-(І «і 1-І «і 0/2 -КГ-|и,1)/2]-г
— (I «г 1 —1 "і 1V2 (Г-|«,|)/2
+ yV J y(r)dr j" ds, [область (З)] (П9.1.8)
-[T-(Iu11 + | U2 D/2] -(T-I U21)/2
где
Y(r> = Y»('-^)v/,(r + -^) +
+ y«(r + ^)ylk(r-^)+K(r, щ, и2).
Интегрирование (П9.1.8) по s и приведение подобных членов дают следующее выражение:
Gov [си (H1), сы (U2)] =
_1_
у2
T' Т"
T' j у(г)(\-Щаг-Т» \у{г)(\~Щаг
-Г —Т"
(П.9.1.9)
где
Г = Г
I U1 I + 1 U2 |
I U2 I - I Ui
При |«i| > IM21 в формуле (П9.1.9) нужно положить T" = = (|Ul|-|U2|)/2.
Упрощение формулы. Оценим теперь, какой вклад в выражение (П9.1.9) дает член с четвертым кумулянтом K(r, ии и2). Если процессы Xi гауссовские, то K = O и полученное ниже приближенное выражение является точным. Для негауссовских случайных
176
Глава 9
процессов, которые являются линейными и представляются в виде (5.2.6), (5.2.7), вклад кумулянтного члена равен интегралу
г
\ К (г, щ, и2)(\-Щ dr. -г
С помощью (5.2.15) можно показать, что этот интеграл имеет порядок \ц(Ui)уki(и2). Следовательно, вкладом этого члена в выражение (П9.1.9) можно пренебречь. Для больших T членами порядка 1/Т2 также можно пренебречь, и (П9.1.9) сводится к
со
Cov [си (щ), cki (U2)] «у- J" y(r)dr =
— OO
OO
— со
+ Уа (г + V/. (г - ^)] dr. (П9.1.10)
Если в (П9.1.10) положить i = j = k = l= \ и сделать замену r = s—(и2 — Ui)/2, то получится формула Бартлетта (5.3.22). В частности, при U2 = Ui из этой формулы получаем
OO
Var[c„(«)] «у" 1 Yu WoV- (П9.1.11)
Ковариация спектральных оценок. Формулу для ковариации спектральных оценок СіД/і) и Chi({2) можно получить из предыдущих формул следующим образом:
CoV[QHf,), Ckl(f2)] =
г т
= Cov
J CU (U1) е-/**». duu J" Ckl (U2) e-IW^dUt -T -T
= J J CoV[Cj/(и,), ckl(U2)]e-itoUM+WdUiduz. (П9.1.12)
T T
-T -T
С целью упрощения (П9.1.12) мы выведем выражение (П9.1.10) в другом виде.
Оценивание взаимных спектров
177
Другой вариант формулы для Cov[cjj(Wi), chi(u2)]. Из (П9.1.9) и (П9.1.6) получаем
Cov [ct/ {U1), сн (U2)] =
T Т"
Г \у(г)[\ -Щаг-Т" ^{г)(\-Щаг
у2
. T' - Т"
со со
— СО — OO
X
