Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ковариация сглаженных спектральных оценок. Сглаженная спектральная оценка Ca(f) получается из C1-,-(f) с помощью равенства
C1Af)= J C11 (g) w (f-g) dg,
(П9.1.19)
где W(f)—спектральное окно, соответствующее корреляционному окну w (t). Отсюда
Си (Z) = J" сц (и) w (и) е-/ЗД« du.
(П9.1.20)
-г
Ковариацию сглаженных спектральных оценок можно получить следующим образом. Так как
сц («) = си (и) w (и), (П9.1.21)
то
Cov [си (щ), Cki (U2)} = w (U1) w (и2) Cov [си (U1), Cki (и2)]. (П9.1.22)
Оценивание взаимных спектров
181
Отсюда с помощью (П9.1.12) и (П9.1.22) получаем CoV[Qz(Z1), Сы(/2)] =
T T
= J" J" w(U1)w(W2)CoV[C11[U1), ск!(щ)]е-^^+^ащаи2. (П9.1.23) -г -т
Далее, W(U)=O при |«|>М и M < Г. Следовательно, для Cov[c,j(wi), Cu (иг)] в (П9.1.23) можно воспользоваться приближением (П9.1.14). В результате получим
COV[C1Hf.). Cw(f2)]~ { Г ^\»&4-е-™*'+ШХ -т
со
X { [rift (g)r„ (- g) е/** <".-*> + rlZ (?)Г/Й (- g) e/2«e(«¦+«.)]^d«, du2.
(П9.1.24)
Изменение порядка интегрирования дает
OO
Cov [C11 (U), Cki Ш - у 1 W & - S) Fi* ig) Tii(-g)W(f2 + g) +
— OO
+ Г„ (g) Tik (-g)W(f2- g)] dg. (П9.1.25)
Если предположить, что функции Г изменяются незначительно при изменении частоты в интервале, равном ширине полосы частот окна, то их можно вынести из-под знака интеграла. В результате (П9.1.25) переходит в
Cov[Си(U), Ckl(I2)] ~ Tik (h)VTil(~h) ] W(U-g)W (f2 + g)dg +
— со
+ Vll{h)Y~U) J W (f ,-S)W(I2-S) dg. (П9.1.26)
— OO
Следовательно, если спектральные окна достаточно узки и перекрываются незначительно, то ковариация сглаженных оценок очень мала. При fi = f2 (П9.1.26) дает
Cov [C11 (U), С м (U)] « Tik(h)TJl{~h) J w {fl ^g)w (/i + g) dg +
— OO
+ r"(/l)r/*(-fl) JwK-gWg. (П9.1.27)
— OO
Поскольку перекрытие окон незначительно, первым членом в правой части (П9.1.27) можно пренебречь. В результате, применяя
182
Глава 9
теорему Парсеваля, получим
CoV[C1Af1), CM] ~ Til(h)Tlk(~h) jW2{g)dg^
— OO
=-f- j w2{u)du. (П9.1.28)
— OO
Формулой (П9.1.27) можно воспользоваться для вывода обобщенной матрицы ковариации сглаженных спектральных оценок. Как отмечалось в разд. 9.2.1, эта матрица совпадает с матрицей (9.1.22), за исключением того, что множитель W2(—) надо заменить на ЦТ, где
m
I= Jw2 (и) du.
-м
ПРИЛОЖЕНИЕ П9.2
ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА ВЫЧИСЛЕНИЙ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДВУМЕРНОГО РЯДА
Ниже приведена логическая схема вычислительной программы CROSSPEC, входными значениями для которой служат выборочные оценки авто- и взаимных ковариации COV(K, I, J) или DCOV(K, I, J), K = O, МАХМ, I = 1, 2, J = 1, 2, из программы MULTICOR, описанной в Приложении ГІ5.3. Дополнительными входными величинами являются DELTA, NF, М-<МАХМ — |S| и S — число запаздываний, требуемое для выравнивания процессов (так чтобы наибольшая по модулю взаимная ковариация была в нуле). Выход состоит из печати ковариации (повторный контроль), сглаженных автоспектров для каждой точки отсечения М, фазового спектра, квадрата спектра когерентности и графиков логарифмов автоспектров, а также квадрата спектра когерентности и фазового спектра, которые строятся вместе для всех используемых точек отсечения.
Программа CROSSPEC
1) Входные параметры N, МАХМ, DELTA, NF, S.
2) Произвести считывание IDENT (1), COV(K, 1, 1), K = O, МАХМ
IDENT (2), COV(K, 2, 2), K = O1 МАХМ COV(K, 1,2), K = O, МАХМ COV(K, 2, 1), K = O1 МАХМ.
3) Произвести считывание М, положить COV(K) = = COV(K, 1, 1), K = O, МАХМ.
Оценивание взаимных спектров
4) Вызвать подпрограмму AUTOSPEC. (Приложение П7.1)
5) Запомнить SPEC(K, 1) = SPEC(K), K = O, NF.
6) Положить COV(K) = COV(K, 2, 2), К = О, МАХМ.
7) Вызвать подпрограмму AUTOSPEC.
8) Запомнить SPEC(K, 2) = SPEC(K), K = O, NF. 9)Вызвать подпрограмму EVOD.
Подпрограмма EVOD
Вычислить EV(K) = COV(K + S1 1, 2) +COV(K-S, 2, 1), К = О, M
OD (К) = COV (К + S, 1, 2)-COV(K-S, 2, 1), К = О, M
(Отметим, что COV(K, 1, 2) = C0V(-K, 2, 1).
10) Вызвать подпрограмму CROSPEC
Подпрограмма CROSPEC
Вычислить сглаженные коспектр и квадратурный спектр и квадрат взаимного амплитудного спектра
C0SPEC(I) = 2. * DELTA * |eV(0) + 2. * EV(K)W(K)COS^J
M-I
QSPEC(I) = 4. *DELTA* 0D (K) W(K) SIN^-
K = I
SQ (I) = COSPEC (I) * COSPEC (I) + QSPEC (I) * QSPEC (1)
Как и в подпрограмме AUTOSPEC, преобразование Фурье можно выполнить очень быстро, воспользовавшись либо алгоритмом БПФ, либо алгоритмом, приводимым ниже.
11) Вычислить PHASE (К) = ARCTAN (-QSPEC (KVCOSPEC(K))
COHSQ (К) = SQ (KV(SPEC (К, 1) * SPEC (К, 2)).
12) Вычислить LOGSPEC(K, I) = LOGlO(SPEC(K, 1))
LOGSPEC(K, 2) = L0G 10(SPEC(K, 2)),
соблюдая предостережения (5) из подпрограммы AUTOSPEC.
13) Напечатать сглаженные автоспектры SPEC (K,l), SPEC(K,2), фазу PHASE(K), квадрат коэффициента когерентности COHSQ(K), ширину полосы частот окна В и число степеней свободы D.
14) Построить на одном графике:
LOGSPEC(K, 1) для всех использованных значений М, LOGSPEC(K, 2) для всех использованных значений M1 PHASE(K) COHSQ(K)
184
Глава 9
Алгоритм
Чтобы найти COSPEC(I), QSPEC(I),
