Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
О
-360е -720° -1080°
-то'
-Г800'
-ггво°
-2520" -2880° -3240° -SSOO'
0,125 0,25 0,37S 0,5
Ь^т----
Полоса частот окна г*—16 — ¦
Рис. 9.15. Сглаженные выборочные оценки фазового спектра линейного процесса (8.1.22) (N = 100, до выравнивания).
Оценивание взаимных спектров
157
Видно, что они не сходятся к какой-либо функции и что при L = 32 выборочная оценка начинает резко «скакать». Поэтому нельзя получить никаких удовлетворительных выводов относительно выборочных оценок когерентности. Выборочные оценки фазового спектра показаны на рис. 9.15 при L = 4, 8, 16 и 32. Видно, что они очень плохи, когда L меньше или сравнимо с величиной задержки (т = 10). Но когда L становится больше 10, выборочные оценки быстро улучшаются, и при L = 32 наблюдается превосходное согласие с теоретическим фазовым спектром.
Примеры этого раздела иллюстрируют то общее положение, что хорошие выборочные оценки фазового спектра можно получить и в тех случаях, когда спектр когерентности оценивается плохо. В следующем разделе мы покажем, что обычне можно значительно улучшить выборочные оценки спектров когерентности и фазы с помощью выравнивания двух рядов.
9.3.3. Улучшение выборочных взаимных спектральных оценок
В последнем разделе было показано, что при оценивании спектра когерентности может получаться значительное смещение, особенно когда имеется большая относительная задержка рядов. В настоящем разделе мы вычислим смещение спектральных оценок когерентности и фазы и покажем, что это смещение можно существенно уменьшить с помощью выравнивания. Выравнивание заключается в центрировании взаимной корреляционной функции таким образом, чтобы ее наибольшее абсолютное значение приходилось на нулевое запаздывание.
Смещение оценок когерентности. Приближенные выражения для смещения сглаженных оценок когерентности можно получить C помощью метода, подобного тому, который мы использовали в разд. 6.3.5. Например, смещение сглаженной оценки спектра когерентности равно
Bm-B [S}, № - (B] - В - ^?.]. (9.3.17,
С помощью (3.2.23) это смещение можно аппроксимировать выражением
Bn (f) B11U) в»(П'
B[I) = ^1Af)
<4(л гп(/) T22W
(9.3.18)
где Bi2(И, ?u(/)- B22(Z) —смещение оценок ICi2(Z)I2, Cn(Z) и C22(Z) соответственно. Предположим на время, что автоспектры почти не меняются на частотном интервале, равном ширине спектрального окна, так что смещением оценок автоспектров можно пренебречь.
158
Глава 9
Найдем сначала смещение квадрата взаимного амплитудного спектра, т. е. величину
Мы имеем
E[\Cl2(f) П = Е
?12(/) = Е\А\г(!)-*\2Щ.
$ Cl2(g)W {f-g) dg \ C]2(K)W (Z-h)dh
j j W(J- g) W (f-h) E [C12 (g) C]2 (A) I dg dh. (9.3.19)
— OO — OO
Так как
E [C12 (g) C]2 (A)I = Cov [C12 (g), C]2 (A)I + E [C12 (g)] E [c]2 (h)}, то с помощью (9.1.22) и (9.2.3) это выражение приближенно равно
E [C12 (g), C]2 (А)] « т Tn (g) T22 (g) 6(g-h) + T12 (g) T]2 (А). Следовательно,
Е[ IC12 (Z)I2]- J (V~ g) Гп (g) Г22 (g) + I Г12 (/) p. (9.3.20)
Так как мы предположили, что Tn(Z) и T22(Z) почти не меняются на интервале частот, равном ширине спектрального окна, то (9.3.20) сводится к
¦Tn(f)T22(f)±+\ T12(Z) і2
?[ IC12(Z)
и из (9.3.18) получаем ?(/)~
/ і I г„(/) I2-[Г,,(/)1' т ~*~ гп (/)г22(о
(9.3.21)
(9.3.22)
Равенство (9.3.22) показывает, что, даже если теоретический взаимный спектр равен нулю, средний сглаженный спектр когерентности может быть очень большим. Этим объясняются показанные на рис. 9.5 большие значения выборочных оценок когерентности для двух независимых процессов авторегрессии первого порядка, обсуждавшихся в разд. 8.2. Например, при L = 40
_/_ = (0,75) 40 T ~~ 100
= 0,3,
что в среднем хорошо согласуется с выборочными значениями, приведенными на рис. 9.4. Заметим, что с ростом L (и, следовательно, с ростом IJT) выборочные значения когерентности в среднем также возрастают. Как указывалось в разд. 9.1.2, когда Af =
Оценивание взаимных спектров
159
= LA —> 7', коэффициент когерентности стремится к единице для всех частот /.
Из формулы (9.3.22) видно также, что фильтрация независимых рядов не улучшает выборочных оценок когерентности. Этот факт продемонстрирован на рис. 9.5, где приведены выборочные значения когерентности независимых процессов до и после фильтрации. На этом рисунке видно, что в обоих случаях значения квадрата спектра когерентности в среднем равны 0,1. Эта величина хорошо согласуется со значением //7' = 0,75 • -щ = 0,12,
которое получается по формуле (9.3.22).
Чтобы получить явное_ выражение для смещения (9.3.22), нужно вычислить величину |Гіг(/)|2 — |Гі2(/)|2. Из (9.2.4) имеем
Г12(/) = J w{u)yl2{u)e-W»du,
так что
I г12(/)12= j" j" w(u)w(v)yl2(u)yl2(v)e~!2^ ("-rtdudv.
— OO — OO
Отсюда
I F12(A |2-|Г12(/) I2 =
OO OO
= j j Yi2(")yi2(o)e-/2jxf 1¦«-0Hw(U)W(V)-\]dudv. (9.3.23)
— OO — OO
Записывая
w (u)w(v) - 1 = [w(u)~ 1] [w (v) - 1] + [w (u) - 1] + [w (v) - 1],
получим
If12(A І2-|Г12(/) I2 =
OO OO
= j" [w(u)~ \ ]ух2(и)е-^и du J" [w(v)~ l]y12(v)e'2nfv dv 4-
