Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ковариационная матрица сглаженных оценок взаимных спектров и автоспектров. Используя свойство свертки (П2.1.8), сглаженную оценку взаимного спектра (9.2.1) можно записать в другом виде:
оо
C12(Z) = J Cl2(f-g)W(g)dg. (9.2.7)
— OO
Отсюда
CoV[CiHf1), CH(f2)] =
OO OO
= J J Cov [C17 (f,-g), Ckl(f2- h))W(g)W(h) dgdh. (9.2.8)
— OO — OO
Ковариационную матрицу сглаженных спектральных оценок можно вывести с помощью матрицы (9.1.22). Например, для больших T из (9.1.22) следует, что
Cov [C11 (Z1), C22 (f2)\ ~ IT12 (/,) р ±МЫА .
Отсюда
CoV[C11(Z1), C22(Z2)]-
OO оо
« J J I г12 (Z1 - g) P6 (Л ~ V 8+h)'w(g)W (h) dg dh =
— оо — оо оо
= J |r'2(V~g)|2 W (B) W (Z2 + g - Z1) dg. (9.2.9)
— OO
138
Г лава 9
Предполагая, что Г12(0 мало меняется в полосе спектрального окна, и делая в (9.2.9) замену Zi— g = h, получаем
оо
CoV[C11(Z,), C22(Z2)] ~ |Г'а^|)|2 J W (Z1 -h) W (f2-h)dh. (9.2.10)
— 00
При Z1 = Z2 = Z равенство (9.2.10) сводится с помощью (6.4.13) к
со
COv[C11(Z), C22(Z)] ~ |Гі2г(/)|2 \ ^2(g)^ = |ri2(Z)l2-f. (9.2.11)
— 00
Аналогичные выражения можно получить и для других спектральных оценок.
Таким образом, эффект сглаживания состоит в уменьшении дисперсий и ковариации несглаженных оценок в 1/Т раз. Следовательно, ковариационная матрица сглаженных оценок получается из ковариационной матрицы (9.1.22) несглаженных оценок с помощью замены множителя W2(—) на 1/Т. Более строгий вывод этих результатов приведен в приложении П9.1.
Сама ковариационная матрица сглаженных спектральных оценок непосредственно не представляет особого интереса. Она нужна лишь как промежуточная ступень при выводе ковариационной матрицы сглаженных оценок взаимного амплитудного спектра, спектра когерентности и фазового спектра. Эта последняя матрица выводится в следующем разделе.
9.2.2. Сглаженные оценки взаимного амплитудного и фазового спектров и квадрата спектра когерентности
Как показано в разд. 8.4.4 для описания корреляции двух случайных процессов, в частотной области можно воспользоваться их взаимным амплитудным и фазовым спектрами. Однако удобнее взять квадрат спектра когерентности и фазовый спектр.
Имеется несколько способов определения сглаженных оценок этих спектров. Один простой способ состоит в том, чтобы в теоретические выражения для этих спектров подставить сглаженные оценки коспектра и квадратурного спектра. В результате с помощью (8.3.28) сглаженная оценка взаимного амплитудного спектра будет иметь вид
Ai2 (Z) = Vl2i2(f) + Qh (Z). (9.2.12)
Аналогично с помощью (8.3.29) можно определить сглаженную оценку фазового спектра
F12(Z) = arctg(-^if). (9.2.13)
V L!2 (l) I
Оценивание взаимных спектров
139
Наконец, пользуясь равенством (8.4.18), определяем сглаженную оценку квадрата спектра когерентности
Й</НА«±ІМ!. ,9.2.,4)
с„ (() Cn(J) к '
Заметим, что, даже если бы оценки Li2(I) и Qa(I) были несмещенные, оценки (9.2.12) — (9.2.14) все равно имели бы смещение. Однако это смещение было бы мало но сравнению со смещением, вызванным отсечением концов взаимной корреляционной функции и ее несимметричностью относительно нуля. Поэтому можно считать, что среднеквадратичная ошибка из-за этого не увеличится. Так как все оценки _ (9.2.12) — (9.2.14) я_вляются нелинейными функциями от оценок La(I), Qa(I), Cn(I), C22(I), то для нахождения их моментов нужно разложить эти нелинейные функции в ряд Тейлора, как показано в разд. 3.2.5 и в [2]. В качестве примера найдем среднее значение и дисперсию сглаженной оценки взаимного амплитудного спектра (9.2.12). _
Для удобства записи опустим аргумент f, так что (9.2.12) запишется в виде
A12 = Vl]2 + Q]2.
Рассмотрим теперь малые возмущения 6/Ji2 и 6Qi2 около математических ожиданий E[L12] = Ai2, E[Qi2] = ty12, с помощью которых можно записать
/-12 = -Л-[2 + OL12,
Q12 = y12 + 6Q12, E [6L12] = 0 = E[6Q12].
Аналогично получаем
E[OL]2} = Var [Z12L E [6Q]2} = Var [Q12], E [6L12 6Q12] = Gov [L12, Q12]. Разлагая (9.2.12) в ряд Тейлора, имеем
A12 = V(A12 + 6L12)2 + (y12 + 6Q12)2 «a12(l + a"ai» +j'2^'2)-Отсюда
E[A12]^a12, (9.2.15)
A]2 Var FzT12I + 1Y]2 Var [Q12] + 2A12V12 Cov [Г,,, Q12I Var [A12] « —--Ч-Ш-U-J2-1 |2' V|2j . (9.2.16)
«12
140
Глава 9
Заменяя в ковариационной матрице (9.1.22) W2(—) на ЦТ, получаем
Var [L12] « -L {Г, ,Га + Л?2 - 4?, Var [Q12] « -^- (ГПГ22 - Л?2 + ^2}, Cov[LI2) Q12] ~ у A12V12.
Подставляя эти выражения в (9.2.16), находим дисперсию сглаженной оценки взаимного амплитудного спектра
Vn[An]K-La^(I+-L~y (9.2.17)
Заметим, что, когда процессы X1 и X2 одинаковые, Ai2 = Си, cti2 = Гц и и22= 1. Следовательно, в этом случае (9.2.17) имеет вид
Var [C11]« Lt2U,
что совпадает с формулой (6.4.13), полученной ранее. Аналогичным образом можно получить формулы для дисперсий и ковариаций оценок А\2, F\2 и К\2- Они будут следующими.
Дисперсия сглаженной оценки спектра когерентности и его квадрата
Var[ IKi2I] «-^r(I-х?2)2, (9.2.18)
Var [ДЪ] « -L 4х?2 (1 - k12)2- (9.2.19)
Дисперсия сглаженной оценки фазового спектра
Отметим, что эти дисперсии не зависят от теоретической функции фазового спектра.
