Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 2" -> 41

Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 2 — М.: Мир, 1972. — 285 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt21972.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 85 >> Следующая

C12 (Z) - H]1 (Z) H21 (Z) cZiZi (Z) + H]2 (Z) H22 (Z) cZA (Z) +
+ H]1 (Z) я22 (Z) cZA (Z) + я;2 (Z) H21 (f) cZiZi (f). (9. і л 8)
134
Глава 9
Следовательно, воспользовавшись (8.4.17), мы будем иметь
Б [Cn (»)] ~ I Нп (f) I2 °? + І н12 (/) J2OTl = T11 (/), (9.1.19)
E [C22 (Z)] « I H21 if) fo] + \ H22 if) f в] = T22 if), (9.1.20)
E [C12 (Z)] - Я;, (/) Я2, (/) а? + Я;2 (/) Я22 (/) ст| = Г]2 (f). (9.1.21)
Ковариационная матрица величин СцЦ) легко получается из равенств (9.1.16) — (9.1.18) и из ковариационной матрицы (9.1.15). Например, учитывая, что ковариационная матрица приблизительно равна нулю для всех частот, кроме Zi « /2, получаем из (9.1.16) и (9.1.17)
Cov [C1, (/,), C22 (/2)] - I Hn (Z1) |» I Я2, (Z2) р CTj {Г2 (-) + W (+)} + + I H12 (Z1) I21 H22 (Z2) I2 Cr2 {1F2 (-) + W* (+)} + + Я;, (Z1) Я12 (Z1) Я;, (Z2) Я22 (Z2) ст^Г2 (+) +
+ я;, (Z1) я,2 (Z1) я21 (Z2) я; (Z2) а2а2г2 (-) + + H11 (Z1) я;2 (Z1) W2x (Z2) я22 (Z2) ст^г2 (-) +
+ H11 (Z1) Я;2 (Z1) H21 (Z2) Я;, (Z2) ст2ст21Г (+).
Члены W2( + ) малы по сравнению с W2(—), и ими можно пренебречь. Воспользовавшись для Zi ~ fz приближенным равенством Haiti) ~ Haiti) и записывая Haiti) в виде Нц, получаем
Cov [Cn (Z1), C11 (Z2)] - {J Hn \21 H2112 crj + I H12 f I H2212 а\ +
+ {HnH12H21Hi2 + HnH]2Hi1H22)ву2) w2і-) = іг12(/,)p WH-).
Поэтому, опуская аргумент /г, обобщенную ковариационную матрицу величин Сц, C2Z, E12 и Qi2 на частотах Zi и f2 (Zi ~ f2) для
произвольного процесса можно записать в виде Hi IT1212 TnA12
W2i-)
I I 12 F Г22Л
Г[ |Л_і2 І 22-Л-І2
ГпЧ'12 V22W12
22іі]2
2
[T11T22 + Л2, -4?} A12Y12
T22Y12 A12Y12 \ {ГПГ22-Л22 + Y
(9.1.22)
Выражение (9.1.22) для ковариационной матрицы спектральных оценок приведено в [1, 2]. Оно справедливо для очень малых значений I IZi! — |/г||- Если разность частот больше 1/Т, то эти ковариации приблизительно равны нулю. Более строгий вывод этих формул приводится в Приложении П9.1. Отметим одно обстоя-
Оценивание взаимных спектров
135
тельство, которое нам пригодится впоследствии: w2(—) стремится к у- 6 (Z1- Z2) Для непрерывных процессов и к -щ-O (/і — f2) для дискретных процессов при очень больших т.
9.2. СВОЙСТВА СГЛАЖЕННЫХ ОЦЕНОК ВЗАИМНЫХ СПЕКТРОВ
9.2.1. Сглаженные оценки взаимных спектров
В разд. 9.1.3 было показано, что выборочные оценки взаимных спектров обладают тем же нежелательным свойством, что и выборочный автоспектр: главный член их дисперсии не стремится к нулю с увеличением длины записи. Поэтому оценки взаимных спектров необходимо сгладить с помощью спектрального окна точно так же, как нужно было сгладить оценки автоспектров.
Сглаженная сценка взаимного спектра определяется следующим образом:
т
C12 (f) = J w (и) C12 (и) г» du, (9.2.1)

где корреляционное окно w(и) обладает обычными свойствами (6.3.29). Разлагая с[2(и) на четную и нечетную части [см. (8.3.19), (8.3.20)], получаем
т т
C12 (Z) = J w {u) I12 [u) cos 2nfu du — j J w (и) q12 (и) sin 2я/и du = -т -т
= ^12(Z) -/Q12(Z), (9.2.2)
где L12(I) и QuU) — сглаженные сценки коспектра и квадратурного спектра.
Математическое ожидание сглаж€нных оценок взаимных спектров. Оценка, соответствующая выборочному взаимному спектру Ci2(Z), определяется следующим образом:
т
C12(Z)= J" C12(U)e-W» du. -т
Ее математическое ожидание можно найти с помощью (8.3.21)
т
E [C12 (/)] = \ (l - 1I1) Y12 (и) e~w» du.
136
Глава 9
Последнее выражение можно переписать в виде
OO
E [C12 (/)] = j T (??^)2 Г12 (/ - g) dg « Г|2 (/). (9.2.3)
— оо
Приближенное равенство в (9.2.3) справедливо из-за того, что при большом T спектральное окно становится очень узким. Таким образом, с хорошей степенью приближения можно считать, что CI2(f) является несмещенной оценкой Г]2(/). Взяв математическое ожидание от обеих частей (9.2.1) и воспользовавшись равенствами (8.3.21) и (9.2.3), получим среднее значение сглаженной оценки взаимного спектра:
т
E [C12(Z)] = jw(u)(l- -М) Y12(и)е-W du ~

оо
« j W(g)ri2(f-g)dg=Tn(f). (9.2.4)
— оо
Функцию Гі2(/) назовем средним сглаженным взаимным спектром. Так как E[Ci2(f)] = E[Ll2(f)]— ІE[Qu(f)], то средние сглаженные коспектры и квадратурный спектр можно записать в виде
т
E[L12 (/)] = j w (и) (1 - JyJ-) я12 (и) cos 2я/и du ~ -г
OO
- j W (я) A12 (f-g)dg = A12(/) (9.2.5)
— оо
й "
t
E [Q12 (Z)I = J о> (и) (1 - Jy1) ^12 (и) sin 2я/и du » -г
* j ^(^)^,2(/-^^ = ^(/). (9.2.6)
— OO
Равенства (9.2.4) — (9.2.6) по виду Похожи на равенства (6.3.35) — (6.3.37) для математического ожидания оценки автоспектра. Однако имеется и существенное отличие, состоящее в том, что автоковариационная функция Yn (и) в (6.3.37) является четной. Поэтому можно ожидать, что если _|ун(и) | —>O достаточно быстро при «-+ос, то смещение ?n(/) = Гц(/) — Гц(/) также будет стремиться к нулю весьма быстро с увеличением значения M точки отсечения корреляционного окна. Для оценки взаимного спектра
Оценивание взаимных спектров
137
ситуация меняется, так как взаимная корреляционная функция не является четной. Таким образом, в том крайнем случае, когда один процесс в точности повторяет другой, но с некоторой задержкой т во времени, взаимная корреляционная функция будет равна автокорреляционной функции, сдвинутой по времени на величину т. Из-за этого среднее значение (9.2.4) сглаженной оценки взаимного спектра будет иметь заметное смещение, если точка отсечения M меньше задержки т. При этом, если т велико, то при н = т значения корреляционного окна w(u) будут малы. Поэтому для того, чтобы смещение было невелико, потребуются очень большие значения точек отсечения. Мы продемонстрируем этот эффект в разд. 9.3. Там же будет показано, что от такого нежелательного эффекта можно избавиться с помощью выравнивания двух рядов, после которого их взаимная корреляционная функция принимает максимальное значение при малом значении аргумента.
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed