Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
— OO — OO
OO OO
-f J" [w(u)~\]у12(и)е-№" du J" yl2(v)ei2llfvdv +
— oo —oo OO oo
+ j yi2(u)e-'2nf"du j" [w(v)~ \]y{2(v)e'2^v dv.
Глава 9
С помощью приближения (6.3.37) для смещения при использовании окна Тыоки получаем
I г12 (f) F -1 г12 (о р ~ (^fL) rg (Щ г<Г+(°fL) (Tf2T12 + г12г<Г),
(9.3.24)
где Г(22 — вторая производная взаимного спектра на частоте Z- Записывая Гі2(/) в виде OCi2(Z)6^'2^ и дифференцируя по Z, получим
I Г]2 (Z) I2 _ I Г„ (Z) J' ~ ^ [в1ав\? - а22 (ср<2>)2],
где опущены члены порядка 1/М4. Следовательно, если в (9.3.18) можно пренебречь смещениями Bu(Z) и 822(f), то смещение оценки спектра когерентности при использовании окна Тьюки приближенно записывается в виде
2"12 а\2\Ч>12)
0,75Af 0,126
B(Z) ~-т-+т
г„г2
(9.3.25)
При использовании окна Парзена 0,75 надо заменить на 0,54 и 0,126 —на 0,304.
Наиболее важная отличительная черта формулы (9.3.25) состоит в том, что смещение пропорционально квадрату производной фазового спектра. Если пренебречь в (9.3.25) постоянным членом и членом с af2\ то получим формулу
0(/)--^^(4)?2. (9.3.26)
так что смещение оценки спектра когерентности пропорционально величине когерентности и быстроте изменения ф1,^ фазового спектра. Следовательно, если имеются большие относительные задержки двух процессов, то выборочные оценки когерентности могут сильно ухудшаться, так как <р(12> будет велико. Смещение взаимных спектральных оценок было впервые обнаружено Акаике [5].
Выравнивание. Смещение оценки когерентности, вызванное фазовым сдвиюм, можно существенно уменьшить с помощью выравнивания (alignment) двух процессов. Предположим, что взаимная корреляционная функция достигает наибольшего по абсолютной величине, или пикового, значения для запаздывания S. Выравнивание процессов, переводящее это пиковое значение к нулевому запаздыванию, изменяет функцию T12(Z) от значения
Ct12 (Z) е"*'<»
к значению
Оценивание взаимных спектров
161
Следовательно,
и в результате смещение (9.3.26) можно существенно уменьшить, как мы покажем в следующем разделе.
Использование фазового спектра для определения параметра выравнивания. Выбор в качестве параметра выравнивания величины 5, соответствующей пику взаимной корреляционной функции, не всегда приводит к удовлетворительным результатам. Может случиться так, что фазовый спектр выравненных рядов все еще будет содержать линейную фазовую компоненту cp(f)=2xtf<l Это будет указывать на то, что необходимо дополнительное выравнивание на величину d. В качестве практической рекомендации мы предлагаем первое приближение к параметру выравнивания делать исходя из пика взаимной корреляционной функции. В некоторых случаях этого достаточно для того, чтобы фазовый спектр после выравнивания уже не содержал линейной компоненты. В других же случаях, когда остается линейная компонента cp(f) = 2nfd, можно взять в качестве второго приближения к параметру выравнивания 6' 4- d и т. д.
Смещение оценок фазы. Приближенные выражения для смещения оценок фазы можно получить тем же путем, что и для когерентности. Окончательный результат при использовании окна Тыо-ки имеет вид
0,063 M2
1
df
(9.3.27)
При использовании окна Парзена надо заменить 0,063 в (9.3.27) на 0,152.
Из (9.3.27) видно, что смещение состоит из двух слагаемых, первое из которых пропорционально второй производной фазового спектра, а второе — произведению производной фазового спектра на производную логарифма взаимного амплитудного спектра. Для двумерных процессов, имеющих большие относительные задержки компонент, величина ф'У будет, по-видимому, превосходить величину фЛ>. Однако из-за'того, что qp^ умножается на d (In a,22)jdf, результирующее полное смещение может оказаться незначительным. Такой случай имеет место в примере с линейной системой, изображенном на рис. 9.11, где показаны теоретический и средние сглаженные спектры. Видно, что они очень хорошо согласуются уже при L = 16.
6 Зак. 1178
162
Глава 9
9.3.4. Формулы дискретного оценивания для выравненных процессов
Предположим, что выборочная взаимная ковариационная функция имеет пик в точке S, причем S может быть и положительным, и отрицательным. Тогда в выравненных выборочных оценках используется центрированная взаимная ковариационная функция, имеющая пик в нуле. Таким образом, выравненная выборочная оценка взаимной ковариационной функции имеет вид
c"2(k) = c[2(S + k). (9.3.28)
Если для выравненной выборочной оценки используется корреляционное окно длины L, то
-L<ft + S<L,
и, следовательно, нужно вычислять Ci2(^) для следующих значений аргумента:
-L-S<ft<L-S.
Далее можно пользоваться формулами, приведенными в разд. 9.3.1, применяя их к выравненным выборочным оценкам взаимной ковариации. Формулы (9.3.6) и (9.3.7) для четной и нечетной частей выборочной взаимной ковариационной функции переходят в
l»2 (k) = j [C12 (S + k) + C12 (5 - Щ. (9.3.29)
q'[2 (k) = 4 [C12 (S + ft) - C12 (S - k)], (9.3.30)
и далее можно применять формулы (9.3.8) — (9.3.13) без изменений.
