Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
c..(k)
r" TTW' г'=1-2' (9-3.13)
'.2 W = 17=?=?- (9-3.14)
У сп (0) C12 (0)
9.3.2. Некоторые численные примеры взаимного спектрального анализа
Детали вычислений. В этом разделе приводятся численные примеры взаимного спектрального анализа искусственных двумерных временных рядов с известными спектрами. Мы сравним теоретические спектры и сглаженные выборочные оценки спектра когерентности (9.3.12) и фазового спектра (9.3.11), Влияние ширины полосы частот окна на дисперсию сглаженных выборочных оценок мы проследим, сравнивая теоретические спектры с выборочными оценками, сосчитанными по реализациям двумерных временных рядов. Во всех численных примерах этого раздела для сглаживания используется окно Тыоки.
Оценивание взаимных спектров
147
Аналогичным образом мы исследуем смещение, вычисляя средний сглаженный коспектр и квадратурный спектр
A12 (Z) = 2 ^12 (/) = 2
l-i
A12 (0) + 2 2 A12 (k) w [k) cos 2nfk
k -
0 + 2 ip12 (k) w (k) sin 2nfk
(9.3.15)
а также средние сглаженные автоспектры Гн(/), Гг2(/). Из них получаются средний сглаженный фазовый спектр и спектр когерентности по формулам
<pl2(/) = arctg
A12(Z)
*ЇЛЇ)
Af2 (Z)+ Yt2 (Z) Г., (Z)T22 (Z)
(9.3.16)
Кроме того, вычисляются сглаженные выборочные взаимные спектральные оценки L12(Z), Q12(Z), F12 if) и •/Ci2(Z) по формулам (9.3.8)-(9.3.12).
Два независимых процесса авторегрессии первого порядка (сц = —0,9). Первыми процессами, которые мы рассмотрим, явля-ляются два независимых процесса авторегрессии первого порядка с «і = —0,9, N = 100. Взаимную корреляционную функцию этих процессов мы оценивали в разд. 8.2.1. Теоретический и средний сглаженный спектры когерентности этого двумерного процесса тождественно раины нулю, а теоретический фазовый спектр не определен. Поэтому мы не будем сравнивать теоретический п средние сглаженные спектры. Основная цель этого примера — сравнить теоретический спектр когерентности, который тождественно равен пулю, с выборочными оценками когерентности для реализаций двух рядов по 100 членов в каждой. На рис. 9.4 показаны сглаженные выборочные оценки спектра когерентности при L = 4, 8, 16 и 40.
Рис. 9.4 демонстрирует очень отчетливо влияние стягивания окна на сглаженную выборочную оценку когерентности, теоретическое значение которой в этом примере равно нулю. При L = 4 и 8 выборочные спектры достаточно плавны и близки к нулю, но с ростом L (и, следовательно, с уменьшением полосы частот окна) появляются очень большие значения когерентности. В разд. 9.1.3 это частично объясняется тем, что дисперсия оценки увеличивается с уменьшением полосы частот окна. Кроме того, как показано
0,125 0,25 0,375 0,5 Сгц
Рис. 9.4. Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности двух некоррелированных процессов авторегрессии первого порядка.
jpj Полоса частот окна
¦*—16-*¦Исходные ряды
0,125 0,25 0,375 0,5 f,ey
P и с. 9.5. Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности двух некоррелированных рядов до и после фильтрации.
Оценивание взаимных спектров
149
в разд. 9.1.2, при уменьшении полосы частот окна сглаженный спектр когерентности стремится к 1 на всех частотах, так как выборочная оценка спектра когерентности по несглаженным данным тождественно равна 1 на всех частотах.
Рис. 9.6. Средние сглаженные спектры когерентности двумерного процесса
авторегрессии (8.1.20).
На рис. 9.5 доказана сглаженная выборочная оценка квадрата когерентности К\2 при L = 16 для исходных и профильтрованных рядов (способ фильтрации описан в разд. 8.2.2). Мы видим, что фильтрация лишь незначительно улучшила выборочную оценку когерентности. Этот вывод следует сравнить с полученным в разд. 8.2.2 выводом о том, что фильтрация может привести к существенному улучшению выборочных оценок взаимной корреляционной функции. Это отличие выборочной оценки спектра когерентности будет объяснено в разд. 9.3.3.
150
Г лава 9
Двумерный процесс авторегрессии. Второй из рассматриваемых нами процессов — двумерный процесс авторегрессии (8.1.20):
Xn — 0,6X1J-I + 0,5Х2,_, = Zn,
X2t — 0,4Xu_j — 0,5X2J-! = Zn,
где Zn, Z2I — независимые белые шумы.
Рис. 9.7. Средние сглаженные фазовые спектры двумерного процесса авто-регрессии (8.1.20).
Теоретические спектр когерентности и фазовый спектр даются формулами (8.4.19) и (8.4.20) соответственно. Квадрат теоретического спектра когерентности х\2 изображен на рис. 9.6 вместе со средними сглаженными спектрами когерентности n2j2 при L = 4, 8 и 16. Видно, что при L — 4 и 8 имеется значительное смещение, причем пик смещен при L = 4 приблизительно на 0,1 гц, а при L = 8 на 0,05 гц. При L = 16 наблюдается хорошее согласие между Xj2 и и2„ а при L = 32 теоретический и сглаженный спектры уже почти неразличимы. Следовательно, для этого процесса оценка спектра когерентности имела бы достаточно малое смещение при L = 16.
Оценивание взаимных спектров
151
На рис. 9.7 показаны теоретический и средние сглаженные фазовые спектры процесса (8.1.20) при L = 4, 8 и 16. Превосходное согласие между ф12 и фі2 получается при L = 8, а при L = 16 средний сглаженный фазовый спектр уже неотличим от теоретическое.
