Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ll г j SJ W 50 .60 V Число степеней свободы
P и с. 9.3. 95%-ные доверительные интервалы для фазового спектра.
На рис. 9.3 показаны 95%-ные доверительные пределы для различного числа степеней свободы выборочной спектральной оценки. Эти значения взяты из [4]. Например, при v = 27 и к\ч = 0,5 получаем доверительный интервал (F ± 17°).
9.3. ВЗАИМНЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИСКУССТВЕННЫХ РЯДОВ
В этом разделе мы проиллюстрируем понятия, введенные в предыдущих разделах, сравнивая сглаженные выборочные оценки спектров фазы и когерентности искусственных рядов с соответствующими известными теоретическими спектрами. В первом разделе приведены формулы для вычисления дискретных сглаженных выборочных оценок. Раздел 9.3.2 предназначен для того, чтобы
144
Глава 9
читатель приобрел некоторый опыт в интерпретации выборочных взаимных спектральных оценок. После этого станет ясно, что методы, описанные' до настоящего момента, нужно видоизменить, чтобы получить удовлетворительные выборочные спектральные оценки. В разд. 9.3.3 показано, что этого можно добиться с помощью выравнивания двух рядов, т. е. сдвига по времени одного ряда относительно другого так, чтобы их взаимная корреляционная функция достигала своего максимального значения при нулевом запаздывании.
Формулы для оценивания сглаженных взаимных спектров по дискретным данным аналогичны формулам для автоспектров, описанным в разд. 7.1.1. Как и там, мы предположим, что ряды хи, X2tJ — 1, N, получены при отсчете по времени с интервалом А сек и что выборочные спектральные оценки вычисляются лишь для положительных частот. Для удобства записи предположим также, что A=I, так что 0<^f ^V2 гц. Если А Ф 1, то сосчитанную по приводимым ниже формулам выборочную оценку надо умножить на А и построить график ее в интервале частот 0 ^Cf <1 -< 1/2А гц. Как и в разд. 7.1.1, число запаздываний ковариационных функций, используемых в спектральных оценках, обозначается через L. Сглаженные выборочные спектральные оценки нужно вычислять в точках 0, \\2F, ..., 7г, где F в два-три раза больше L. Корреляционное окно может быть одним из трех окон, описанных в разд. 7.1.1.
Если присутствуют тренды, то могут получаться ложные связи между рядами. В таких случаях желательно взять первые разности от обоих рядов. Как показано в разд. 8.4.5, операция взятия разностей не изменит теоретические спектры фазы и когерентности. Всюду далее мы будем предполагать, что ковариации относятся либо к исходным рядам, либо к профильтрованным, если это требуется.
Ниже приведены необходимые формулы и указан порядок вычислений.
1. Вычисления для ряда Xu-
а) Выборочная оценка автоковариационной функции
9.3.1. Формулы для дискретного оценивания
<*)-т2<-
>u-*i)(*u+ft-*i). 0<?<L-1, (9.3.1)
jv
ГДЄ *і = -тг
Оценивание взаимных спектров
145
б) Сглаженная выборочная спектральная оценка
Cn (І) = 2
l-i
сп (0) + 2 У\ си (k) w (k) cos
, 0 < і < F. (9.3.2)
2. Вычисления для ряда x2t.
а) Выборочная оценка автоковариационной функции
jv-a
C22 (k) = 5] - -?) (*2*+й - -?). 0 < k < L - 1, (9.3.3)
t-i
где X2
~ JV S
б) Сглаженная выборочная спектральная оценка
l-\
Tiki
T
C22 (/) = 2
C22 (0) + 2 C22 {k) w {k) cos
, 0s^;<.F. (9.3.4)
3. Совместные вычисления для рядов Хи и Xn.
а) Выборочная оценка взаимной ковариационной функции
N-k
Ci2 (k) =jf 2 {хи - хЛ {x2t+k - X2), 0 < k < L - 1, *=i
jv-«:
Ci2(- = 4" S^"+* ""^1)^2/-^z). 0<fc<L-l. (9.3.5)
i=l
б) Четная и нечетная части выборочной взаимной ковариационной функции
/,2(*0 =у[с12(?) + с12(-6)]. 0<6<L-1, (9.3.6)
<7i2(fe) = 4[c12(fe)-C12(-fe)], 0<?<L-1. (9.3.7)
Заметим, что qn (0) = 0.
в) Сглаженные выборочные оценки коспектра и квадратурного спектра
Г 1-1
I12 (і) = 2 Z12 (0) + 2 2 Z12 (Л) а» (A) cos ^
l-i
Q]2(i) = 4 ^qAk) w {k)sin^f-, l<t<F-l, (9.3.9)
fe=i
Qi2(o) = Q12(^) = o.
0</<Л (9.3.8)
140
Глава 9
г) Сглаженная выборочная оценка взаимного амплитудного спектра _
Л12 (0 = /^(0+0^(0. 0</<Л (9.3.10)
д) Сглаженная выборочная оценка фазового спектра
Qi2 (0
F12(O = a rctg
(0
0<j<F. (9.3.11)
е) Сглаженная выборочная оценка квадрата спектра когерентности
к2,9 (0 = —-1T=-, 0</<F. (9.3.12)
12 w C11 U)C22 (і) '
Множитель 2 в уравнениях (9.3.2), (9.3.4), (9.3.8), (9.3.9) поставлен для того, чтобы сохранить соотношение преобразований Фурье между выборочными спектрами и выборочными ковариа-циями, как и в разд. 7.1.1. В приложении П9.2 приведена логическая схема вычислений взаимного спектрального анализа.
Нормировка. Иногда при изучении корреляции двух рядов с различными масштабами измерения полезно их предварительно нормировать так, чтобы получались выборочные оценки корреляций и нормированных спектров. Формулы при этом останутся теми же самыми, если заменить ковариаций на корреляции. Отметим, впрочем, что взаимный амплитудный спектр уже не будет иметь смысла. Нормированные выборочные оценки корреляций получаются из выборочных оценок ковариаций по формулам
