Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
128
Глава 9
определится как случайная величина, соответствующая выборочной коспектральной функции
1
NA
к.
/-12(/(). /» = -дГд •
Удобнее, однако, использовать нормированную оценку
/12(/4)- AfS1S2A Li2(/i)>
(9.1.10)
i-0
где Si, S2 — оценки стандартных отклонений двух процессов. Если процессы некоррелированы, то Ai2(Z) тождественно равно нулю и,
•о 0,4
0,1 0,2 0,3
Рис. 9.1. Выборочные коспектральные функции трех двумерных рядов.
следовательно, /12(/?) тождественно равно нулю, но если процессы коррелированы, то /12(/?) отлично от нуля. Используя (8.3.16), получаем, что из-за нормировки (9.1.10) /12(/?) =/42(0) при Za = = 1/2Д гц.
На рис. 9.1 показаны выборочные оценки, соответствующие (9.1.10), сосчитанные по выборке объема N = 100 из трех двумерных гауссовских процессов. Эти процессы имели вид
X2t = aZlt + Zn,
где Zu Z2 — случайные нормальные числа и а принимало значения 0; 0,1 и 0,3. Таким образом, взаимные корреляции равнялись нулю для всех ненулевых запаздываний, а для нулевого запаздывания ріг(О) =0; 0,20 и 0,55 соответственно. На рис. 9.1 видно, что при ріг(0) =0 выборочная коспектральная функция колеблется около нуля и не указывает на существование корреляции между двумя
Оценивание взаимных спектров
129
процессами. При Pi2(O) = 0,20 выборочная коспектральная функция систематически возрастает до значения 0,20 при / = 0,5 гц, что говорит о корреляции двух процессов. Так как 7i2(l/2A) = Г\2(0), то значение 0,20 при f = 0,5 гц является в этом случае хорошей выборочной оценкой величины Pi2(O) =0,20. При ріг(0) =0,55 корреляция двух рядов становится весьма заметной. Таким образом, поведение трех функций на рис. 9.1 подтверждает то, что используемый критерий очень хорошо обнаруживает корреляцию двух временных рядов. Значения выборочного коспектра и квадратурного спектра для случая ріг (0) =0 приведены в табл. 9.1. Читатель может воспользоваться ими для вычисления выборочной ко-спектральной функции, изображенной на рис. 9.1.
Таблица 9.1
Выборочные коспектр и квадратурный спектр для двух некоррелированных
белых шумов
LX2{fk)
«12 С*)
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,П 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25
0,08
0,03 0,71 —0,10 -0,39 —0,19 0,63 0,00 -0,03 —0,79 0,17 -0,15 —0,27 0,09 -0,40 -0,42 0,21 0,49 —0,15 —0,79 0,23 —0,08 0,02 0,90 0,21
1,53 -1,44 -0,57 -0,78 -1,17 0,38 0,81 -0,04 0,28 -0,15 0,43 -0,35 0,18 -0,16 0,79 0,78 0,31 0,04 -0,76 1,19 1,49 -0,31 0,04 0,61 0,21
1,52 -1,35 -0,75 1,44 -1,25 -1,10 0,91 1,47 -1,47 0,19 1,19 -1,17 -0,57 -1,09 -1,10 -1,08 0,97 0,08 1,38 -0,98 1,42 1,31 1,06 0,60 0,78
0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0.39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50
-1,20 -0,38 0,22 -0,21 -0,15 0,26 0,12 0,37 0,02 0,01 0,16 -0,86 0,39 -1,05 -0,63 -0,50 -0,53 0,23 -0,41 1,71 0,04 -0,52 1,39 -0.67 0,10
-0,47 0,08 1,24 0,05
-0,45 0,08
-0,14
-0,52
-0,48 1,11
-0,60
-0,54 0,31 0,29 0,78
-0,45 0,18 0,03 2,42
-1,00 1,23
-0,25 1,36 0.08
-0,91
0,39 —0,22
1,40 —0,22
1,25
0,32 —0,89 —0,96 -1,54
1,56 — 1,32
0,56
0,67 -0.27 -0,89
0,73 —0,32
0,11 —1,40 —0,53
1,54
0,45
0,77 -0,12
0,00
2. Фазовый спектр. Другой функцией, которая может указывать на корреляцию двух рядов, является оценка фазового спектра Fi2{f). В разд. 9.1.1 было показано, что если два процесса некоррелированы, то эта оценка фазового спектра будет распределена Приблизительно равномерно в интервале (—л/2, я/2),
5 Зак. 1178
130
Глава 9
Следовательно, функция распределения фазового угла будет выглядеть как наклонный отрезок прямой в этом интервале.
Численные значения выборочных оценок фазы для двух белых шумов [случай Pj2(O) =0] приведены в табл. 9.1 вместе с выборочными коспектром и квадратурным спектром. Выборочная функция распределения фазы показана на рис. 9.2. Мы видим, что имеется хорошее согласие между выборочной и теоретической функциями распределения. Чтобы увидеть, значимы ли отклонения от линейности, можно нанести на рисунок 95%-ные доверительные
Рис. 9.2. Выборочная функция распределения фазы для одного двумерного
процесса.
пределы на расстоянии ± 1,36/V N/2 от теоретической функции распределения и 75%-ные пределы на расстоянии ± 1,02/|/jV/2.
Мы видим, что выборочная функция распределения лежит целиком внутри этих пределов при Pi2(O) =0. При Pi2(O) =0,20 и 0,55 выборочная функция распределения также лежит вблизи теоретической прямой. Таким образом, при pi2(0) = 0 ни выборочная коспектральная функция, ни выборочный фазовый спектр не обнаруживают корреляции двух рядов. Когда pi2(0) = 0,20 и 0,55, поведение выборочной коспектральной функции указывает на корреляцию рядов, но выборочный фазовый спектр ведет себя так же, как и в случае некоррелированных рядов. Этого следовало ожидать, так как теоретический фазовый спектр при этом равен нулю. Конечно, в общем случае коррелированные двумерные процессы будут иметь как отличный от нуля коспектр, так и ненулевой фазовый спектр. В таких случаях можно ожидать, что корреляция будет обнаружена как с помощью выборочной коспектральной функции, так и с помощью выборочного фазового спектра.
