Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
9.3.5. Примеры взаимного спектрального анализа с выравниванием
На рис. 9.16 показаны средние сглаженные спектры когерентности при L = 8, 16 и 32 для примера с шумом, пропущенным через линейную систему с применением выравнивания. Параметр выравнивания S = IO был найден по пику взаимной корреляционной функции на рис. 9.13. На рис. 9.12 соответствующие сглаженные спектры приведены до выравнивания. Сравнение рис. 9.16 и 9.12 показывает, что выравнивание приводит к существенному уменьшению смещения, т. е. к уменьшению степени искажения.
На рис. 9.17 показаны средние сглаженные фазовые спектры при L = 4 и 32 после выравнивания, а на рис. 9.11 —до выравнивания. Сравнение этих рисунков показывает, что выравнивание сильно ускоряет сходимость к истинному значению.
Рис. 9.16. Теоретический и средние сглаженные спектры когерентности линейного процесса (8.1.22) (после выравнивания, S = 10).
Рис. 9.17. Средние сглаженные фазовые спектры линейного процесса (8.1.22) (после выравнивания, S = 10).
164
Глава 9
На рис. 9.18 приведены сглаженные выборочные оценки когерентности после выравнивания для шума, пропущенного через линейную систему. На рис. 9.14 даны соответствующие оценки до выравнивания. Сравнение рис. 9.18 и 9.14 показывает, что выравни-
I1O
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
о,з
O1 г
40-
Полоса частот окна — --/<?—»
0,'Z5
0,25
0,375
0,5 f,au
Рис. 9.18. Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности линейного процесса (8.1.22) (N = 100, после выравнивания, S = 10).
вание заметно улучшило выборочные оценки. Заметим, что при L = 16 начинаются осцилляции выборочной оценки на рис. 9.18, и, следовательно, нужно остановиться на значении L = 8 или, возможно, L = 12. Отметим, что при L = 8 наблюдается очень хорошее согласие с теоретическим спектром когерентности. Выборочные оценки фазового спектра после выравнивания не показаны,
Оценивание взаимных спектров
165
поскольку они почти совпадают со средними сглаженными спектрами на рис. 9.17. Как отмечалось в разд. 9.3.3, смещение оценки фазы обычно мало, так что отличие выравненных выборочных фазовых оценок от невыравненных не так существенно, как для оценок когерентности.
0#7 0,95
0,9
0,8 0,7
0,6 0,5
о,з
0.2 0,1 О
Доверительные интервалы
* 8
Полоса частот окна
0,125
0,25
0,375
0,5 Р,гц'
Рис. 9.19. Выборочные оценки спектра преобразованной когерентности линейного процесса (8.1.22) (N = 100, после выравнивания, S = 10).
Таким образом, приведенные примеры показывают, что с помощью выравнивания очень плохие выборочные оценки когерентности можно преобразовать в хорошие.
Доверительные интервалы для коэффициентов когерентности и фазы. Сглаженные выборочные оценки когерентности, показанные на рис. 9.18, вновь изображены на рис._9.19 в масштабе, соответствующем преобразованию Y12 = Arth|Ki21. Кроме того, указаны доверительные пределы, не зависящие от частоты, которые были вычислены по формуле (9.2.23). Поскольку до выравнивания смещение для фазы было очень мало, то допустимо считать, что доверительные интервалы можно применять к выравненным спектрам, показанным на рис. 9.17. Взяв в качестве средней величины квадрата когерентности во всем частотном диапазоне значение 0,8, получаем при L = 4 и 32 с помощью рис. 9.3 95%-ные интервалы ± 5 и ± 15°.
166
Глава 9
9.4. ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОЦЕНИВАНИЯ ВЗАИМНЫХ СПЕКТРОВ
В этом разделе обсуждаются практические вопросы,, возникающие при оценивании взаимных спектров. Они аналогичны вопросам, обсуждавшимся при оценивании автоспектров в разд. 7.3.
9.4.1. Планирование анализа взаимных спектров
Как и в анализе автоспектров, при анализе взаимных спектров желательно выбрать длину записи до начала сбора данных. Во всех вычислениях такого рода нельзя сделать никаких точных утверждений, поскольку наилучший выбор длины записи может быть только тогда, когда точно известны спектры. Однако если имеются предположения о поведении спектра, то в основу сбора данных можно положить полуколичественные рассуждения, а не слепые догадки.
В разд. 7.3.1 указывалось, что имеются четыре стадии в планировании анализа автоспектров.
1. Выбор интервала отсчета, который должен быть не больше l/2/o, где fo — максимальная интересующая нас частота.
2. До перевода записи в цифровую форму может потребоваться аналоговая фильтрация, чтобы устранить все составляющие с частотами выше /•) на непрерывных записях.
3. Нужно сделать предположение относительно ширины а самой тонкой из представляющих для нас интерес деталей когерентности. В разд. 9.3 показано, что спектр когерентности обычно труднее оценивать, чем фазовый спектр. Поэтому планирование должно исходить полностью из спектра когерентности. Малую степень искажения при оценивании спектра когерентности можно получить, выбрав ширину спектрального окна меньше а — ширины самой тонкой детали. Следовательно, число запаздываний L можно найти по формуле (7.3.2), а именно
где bi — стандартизованная ширина полосы частот окна. Заметим, что в вышеупомянутых выкладках предполагается, что выравнивание двух рядов уже произведено. Поскольку сдвиг S, требуемый для выравнивания двух рядов, будет обычно мал по сравнению с их полной длиной, то на стадии планирования этого можно не учитывать.
