Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому для оценки фазового спектра потребовалось бы еще меньшее значение L, чем для оценки спектра когерентности.
В табл. П9.1 приведены значения выборочных авто- и взаимной корреляционных функций, сосчитанные по реализации процесса (8.1.20) из N = = 100 членов. Эти функции показаны на рис. 9.8. Исходные значения для этих рядов взяты из табл. П8.1. На рис. 9.9 изображены теоретический спектр когерентности и его выборочные оценки, сосчитанные по этим корреляционным функциям. Выборочная
оценка /Ci'
при
L = 4
Рис. 9.8. Выборочные авто-!1 взаимные корреляции двумерного процесса авторегрессии (8.1.20) (Л' = 100).
П,(К}
значительно отклоняется от теоретического спектра, так же как и соответствующий средний сглаженный спектр х?2 на рис. 9.6.
Вдвое большее значение L = 8 приводит к заметному изменению выборочной оценки К\.,, однако дальнейшее увеличение L до 16 уже не дает существенных изменений. Поэтому в данном случае при использовании метода стягивания окна, описанного в разд. 7.2.4, можно было бы остановиться на выборочной оценке, соответствующей значению L = 16 или, возможно, даже L = 12. Отметим, что при L = 16 наблюдается весьма хорошее согласие
между Kj2 и х22- Однако дальнейшее увеличение L до 32 приводит к сильным осцилляцпям KL.
152
Глава 9
Теоретический фазовый спектр и его сглаженные выборочные оценки изображены на рис. 9.10 при L = 4, 8 и 16. Метод стягивания окна показывает, что при L <^8 изменения фазы незначительны, а при L = 16 в выборочной оценке появляются ложные пики. Поэтому можно было бы, по-видимому, взять выборочную оценку
Рис. 9.9. Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности двумерного процесса авторегресии (8.1.20) (N = 100).
при L = 8. Из рис. 9.7 мы видим, что при этом наблюдается хорошее согласие теоретического и среднего сглаженного фазовых спектров в диапазоне от 0 до 0,4 гц. Для частот, больших 0,4 гц, кривая выборочных оценок уходит вниз, в то время как теоретический спектр идет вверх. Из рис. 9.9 видно, что частота f = 0,4 гц соответствует точке, где когерентность снижается до малой величины. Взяв для этой области частот среднее значение квадрата коэффициента когерентности 0,1, находим из рис. 9.3, что 95%-ный доверительный интервал для фазы при L = 4 равен приблизительно ± 30°.
Оценивание взаимных спектров
153
Шум, пропущенный через линейную систему с задержкой.
Третьим из рассматриваемых нами процессов является процесс (8.1.22), где X2t— выход линейной системы первого порядка с задержкой на 10 единиц времени
X2t = 0,5Хо;_] + 2Xjt-]0 + Yf.
В качестве входного процесса Xit берется процесс авторегрессии первого порядка
X11 = 0,6Xu-I+Zlt.
Шум Yt является процессом авторегрессии первого порядка
Yt = 0,bYt^+Z2t,
и Zit, Zu — два независимых белых шума. Теоретические корреляционные функции этого процесса приведены в разд. 8.1.4.
-*---¦-*
Рис. 9.10. Сглаженные выборочные оценки фазового спектра двумерного процесса авторегрессии (8.1.20) (Af=IOO).
Теоретические спектры когерентности и фазы, полученные с помощью методов, изложенных в разд. 8.4.3, имеют вид
v2 /А- 5-4соз2я/ п]2\1> 6,36 - 5,2 cos 2nf '
Ф» (Л-"ctg 2(W.
Рис. 9.12. Теоретический и средние сглаженные спектры когерентности линейного ППОНеССа (8. 1.22"» (по инпяшпгп.™»»!
Оценивание взаимных спектров
155
Теоретический и средние сглаженные фазовые спектры этого линейного процесса показаны на рис. 9.11. Мы видим, что хорошие оценки фазы можно получить, лишь когда L = IG или по крайней мере L = 12.
Теоретический спектр когерентности щ2 построен на рис. 9.12 вместе со средними сглаженными спектрами когерентности Щ2 при L = 16, 24 и 32. Видно, что эти средние сглаженные спектры заметно отличаются от теоретического даже при L = 32 и что это отличие нельзя приписать недостаточной гладкости теоретического спектра. Причина в том, что смещепие появляется из-за большой задержки между входом и выходом, как было предсказано в разд. 9.2.1.
При L = 8 средний сглаженный спектр когерентности приблизительно равен нулю, как можно было бы предвидеть, поскольку задержка между двумя рядами пре-
P и с. 9.13. Выборочные авто-II взаимные корреляции линейного процесса (8.1.22) (N = 100).
восходит максимальное запаздывание ковариаций. Следовательно, в этом случае смещение равно самой функции x22(f).
Из теоретических рассмотрений ясно, что немногое можно узнать из спектрального анализа реализации этого процесса, содержащей около 100 членов, если только не проводить этот анализ очень тщательно. Чтобы проиллюстрировать этот вывод, мы сосчитали авто- и взаимные корреляции по реализации, состоящей из N = 100 членов. Они приведены в табл. П9.2 и изображены на рис. 9.13. Исходные данные для этого примера взяты из табл. П8.2. На рис. 9.14 показаны выборочные оценки спектра когерентности, сосчитанные по реализации из Af = 100 членов при L = 8, 16 и 32
0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 О, З 0,2
o,r
Полоса частот окна ^32—
«--8--
---W—
Л
/
Л
V
I_ 4
/Л
Jj4
W
0,125
0,25
0,375
0,5 Г,гц
Рис. 9.14. Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности линейного процесса (8.1.22) (N = 100, до выравнивания).
