Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Теоретическая корреляционная 0,5Н щнщия
Ol ",..,'и.
J
w го зо w и
-0,SL
5.13. Теоретическая и выборочные корреляционные функции для процесса авторегрессии второго порядка.
228
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
д) Другое следствие формулы (5.3.19) состоит в том, что нельзя судить об изменчивости одиночного значения корреляции, не учитывая других значений. Предположим, например, что имеется' модель временного ряда и что корреляционная функция этой модели известна. В учебниках, не являющихся специально статистическими, наблюденная и теоретическая корреляционные функции часто сравниваются в предположении, что соседние точки оценки корреляционной функции независимы. Из-за сильной корреляции этих соседних значений, что видно из (5.3.19), такое предположение может быть совершенно ошибочным. Для точного анализа нужно было бы при сравнении наблюденной и теоретической корреляционных функций пользоваться совместной плотностью вероятности корреляций, хотя в таком случае это сравнение, по всей видимости,
Таблица 5.3
Выборочные корреляционные функции, построенные по двум выборкам искусственного белого шума
Ряд 1 гхх <*> к 'хх^ * к '«<*>
1 0,041 9 -0,009 17 0,025 25 0,010
9 0,024 10 0,047 18 -0,020 26 0,029
3 0,045 11 0,061 19 0,032 27 0,011
4 0,330 12 0,083 20 0,075 28 0,068
5 0,007 13 0,026 21 -0,000 29 -0,004
6 0,012 14 -0,030 22 0,027 30 0,016
7 0,025 15 0,019 23 0,012 31 0,025
8 0,102 16 0,099 24 0,033 32 0,035
Ряд 2 * 'хх <*> * * k тхх <*>
1 -0,014 9 0,020 17 —0,047 25 0,039
2 -0,008 10 0,013 18 -0,012 26 0,016
3 -0,038 11 0,007 19 0,025 27 0,025
4 0,011 12 -0,022 20 0,001 28 0,031
5 -0,047 13 0,017 21 0,009 29 -0,071
6 -0,051 14 -0,020 22 0,059 30 0,040
7 0,000 15 0,017 23 0,018 31 0,012
8 -0,041 16 -0,047 24 0,031 32 -0,025
5.3. Оценивание ковариационных функций
229
было бы очень сложным. Когда задана параметрическая модель, гораздо лучше использовать методы правдоподобия или наименьших квадратов, которые описаны в гл. 4.
Критерий для проверки гипотезы о том, что шум белый. Есть один случай, когда соседние точки выборочной корреляционной функции действительно являются некоррелированными. Это имеет место для чисто случайного временного ряда, или белого шума. В этом случае из (5.3.19) следует, что при отсутствии коррекции среднего значения ковариация корреляционных оценок равна нулю.
Величию 95%-ного доверительного интервала
!¦И...! llll ill ll 1.1,1.1 ¦I
4 8 IZ 1 1Є 1 20 Zk 28 32 к
t t 11 t т t
Выборочные корреляции, для которых 95%-ный доверительный интервал не содержит нуля
P и с. 5.14. Выборочная корреляционная функция для выборки, образованной случайными нормальными числами, rxx (0) = 1.
Коррекция среднего значения вносит в ковариацию члены порядка 1/Т2, поэтому этими членами можно пренебречь. Можно показать, {12], что, когда число членов ряда достаточно велико, допустимо считать, что rXx{k) распределено по нормальному закону с нулевым средним значением и дисперсией \/N.
В качестве примера в табл. 5.3 приведены выборочные корреляционные функции, сосчитанные по случайным нормальным числам, выданным вычислительной машиной. Результаты некоторого эксперимента по имитации заставили предположить, что эти числа на самом деле были очень непохожи на случайные. Поэтому были взяты массивы чисел, примерно по 1000 штук в массиве, и по ним сосчитаны выборочные корреляционные функции. Типичная такая функция, сосчитанная по 900 числам, частично приведена в табл. 5.3 под заголовком «Ряд 1». Поскольку стандартное отклонение выборочной оценки одиночного значения корреляционной функции равно 1/У900 = 0.033, то 95%-ные доверительные границы для одиночной корреляции pxx(k) приблизительно равны rXx(k) ±0,033- 1,96 =
230
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
= гхх(к) ±0,065. 95%-ный доверительный интервал изображен рядом с выборочной корреляционной функцией на рис. 5.14. Видно, что 7 из 32 доверительных интервалов не накрывают нуль. Исходя из доверительного уровня, следовало бы ожидать, что примерно 5% от общего числа доверительных интервалов, т. е. 1 или 2, не накроют нуль. На самом деле, функция на рис. 5.14 обнаруживает систематическую компоненту с периодом, равным 4, из-за несовершенства метода получения случайных нормальных чисел.
Под заголовком «Ряд 2» в табл. 5.3 приведена типичная выборочная корреляционная функция, сосчитанная после того, как метод получения случайных чисел был улучшен. Заметим, что лишь для рхх (29) доверительный интервал не накрывает нуль. Это находится в согласии с гипотезой о том, что временной ряд является чисто случайным.
5.4. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОЦЕССА
В этом разделе мы применим методы гл. 4 к оцениванию параметров процессов авторегрессии и скользящего среднего, введенных в разд. 5.2. Предположим, например, что требуется подобрать авторегрессионную модель
(X1-V) = а, (*,_,-«.)+ ... +am(Xt_m-v) + Zt (5.4.1)
к наблюденному временному ряду хи х%.....Xn. Процедура подгонки состоит в следующем:
