Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
1) вынесение решения о порядке т процесса;
2) для заданного т оценивание параметров д., осі, ..., ат. Поскольку решение о том, каков порядок т процесса, можно
вынести, лишь подгоняя процессы различных порядков, сначала необходимо рассмотреть оценивание параметров.
Приближенная функция правдоподобия. Предполагая, что процесс Zt является нормальным, можно получить логарифмическую функцию правдоподобия для фиксированного т следующим образом. Во-первых, заметим, что совместную плотность вероятности случайных величин ZTO+i, Zm+2, ¦.., Zn можно записать в виде
5.4.1. Оценивание параметров авторегрессии методом максимального правдоподобия
/т+1.
Лг(гт + 1> zm + 2, ...,zn)
,N-т
X
5.4. Оценивание параметров линейного процесса
231
где E[Zt] = O, E[Z2f] = a2z. Если перейти от переменных z к л:,- согласно формуле (5.4.1), то, учитывая, что якобиан преобразования равен единице, получим
fm + \.....N(xm + l,xm + 2.....XN I x\ > • • •> xm)~
- ,,г.-] yv-m ЄХР 2 K-«* — I*) — «1 (-«*-! — И- — - - -
{V2naz) ( 2°Z t = m + l
¦ - ¦ -«m(^-m-!^)]2}. (5.4.2)
Обозначения в левой части равенства (5.4.2) подчеркивают, что оно изображает условную совместную плотность случайных величин Xm+u ..., Xn при условии, что величины Xi1 ..., Хт фиксиро-ваны и равны своим выборочным значениям. Чтобы получить полную плотность вероятности, нужно было бы умножить (5.4.2) на ¦совместную плотность величин Xi, ..., Xm- Так как обычно m мало, результат такой «концевой поправки» будет несущественным, и, поскольку она значительно усложняет функцию правдоподобия, мы ее опустим. Если Xi известны, то (5.4.2) рассматривается как функция р, ai, • • •, Om и дает условную функцию правдоподобия этих параметров при фиксированных хи ..., хт. Логарифмическая функция правдоподобия, таким образом, равна
/(р., а,.....аш I X1, . . ., Xn) = — (N — т) In l/2ic — (N — т) In az —
N
-ZY- 2 К*/- !*) — аі(*<-1 -Iх)- ••• — am(Xt-m-V-)\ 2cZ < = m + l
(5.4.3
При оценивании параметров \х, а\, ..., ат важной величиной является сумма квадратов
•5(P-, «і, ---- «¦„[X1.....хт) =
N
= 2 К*/-!*)-М*/-і-!*)-•••-am (*/-«-|*)Р (5.4.4)
t — m + l
Теперь выборочные оценки максимального правдоподобия, или наименьших квадратов, можно получить, дифференцируя (5.4.4). Рассмотрим некоторые частные случаи.
Процесс авторегрессии первого порядка. Дифференцирование суммы квадратов
N
S(P, a,) = 2 [(Xt-V-) —ai(xt-i—V-)]2
t = 2
232
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
приводит к нормальным уравнениям, аналогичным тем, которые получались в разд. 4.3.3. Таким образом, имеем
а, \х, -^)=0, 2 (Uy-I-^)[U,— [J-) — а, U,_, — |j.)]}=0,
(=2
где JCi, X2—средние арифметические первых и последних (N—1) наблюдений соответственно. Отсюда
~ X2- a,Xi
1-а, N
2 к-г
.Sb--г
ґ = 2
Поскольку Xi и Jt2 очень близки к полному среднему х, выборочную оценку р. можно считать приближенно равной х и, следовательно^ выборочную оценку et] — равной гхх(\). Остаточную сумму квадра-
N
s fe =ч) = 2 IU, - J - °ч U«-i - Iх)]
тов можно упростить, используя (П4.1.11):
N , Л'
^U «J= 2 U*-J - «і 2Uz-^)Uz-I-I*). (5-4-б)
г=2 (=2
Аппроксимируя (5.4.6), точно так же как это делалось выше для ai, получаем простое выражение
5 U, aj ^ (N-I) [схх(0) - \схх (1)] = (N-l)cxx (0) [l - rL (1)] .
(5.4.7)
Поскольку в S(ii, ai) фактически входят (N— 1) наблюдений и две степени свободы потеряны при подгонке констант р,, ai, дисперсию процесса Zt можно оценить с помощью
1 M
5.4. Оценивание параметров линейного процесса
233
Используя (П4.1.15) и те же самые приближения, что и выше, получаем 100(1 — а) %-ный доверительный интервал для at:
Ui-«J <-лг^"-• (5-4.8)
t = \
Процесс авторегрессии второго порядка. Выборочные оценки максимального правдоподобия можно получить, дифференцируя (5.4.3) по p., ai и аг и приравнивая эти производные нулю. Это при-іводит к уравнениям
U3 - Й = ai U2 — Iа) + a2 Ui ~v) >
2U< —й Ut-i — J=ai 2U<-i—їй +
+ Ч 2 U,_ і — (О U,_2 — [J-) ,
2U/—їй U/-2—іО=аі 2U/-i—t*)U<-2 - й+
+ a22U,_2 —Й . (5-4.9)
где
— 77^3" 2 - з+1
и суммирование распространяется от г = 3 до t = N. Если заменить
Xj полным средним значением х, то шесть функций от наблюдений, входящих в эти уравнения, можно объединить в пары и положить
\i = x. Например, две функции
2 U/ — й U*-і — й
и
2 U^-I - И U;_2 — їй
имеют N — 3 общих члена и отличаются только на один член в начале и в конце. С достаточной степенью точности их можно заменить на .Vcxa:(l), где C3Cx(I) является выборочной оценкой ковариации (5.3.25). Тогда уравнения (5.4.9) можно приближенно переписать в виде
?«(1) = «! Схх (0) + *1Схх (1), Схх (2) = «1 Схх (1) + ЧСХХ (0).
234
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
Отсюда, вводя выборочные оценки корреляции rxx(k) = cxx(k)lcxx(0), получаем
С _ rxx(l) [1-/-,,(2)1
1 1 2
1 - гхх '
'•„(2)-4,(1)
XX
I
.2
(5.4.10)
Используя те же самые приближения, что и выше, остаточную сумму квадратов S((x, ai, a2) можно записать в виде
sfc, «„ X) = (N-2)[схх{<д)-2,схх(\)-*2схх(2)}. (5.4.11)
