Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Остаточная дисперсия равна
si = N [_ 5 (p., a„ а2)
и имеет /V— 5 степеней свободы, так как исходное правдоподобие (5.4.13) содержит N — 2 наблюдения и еще 3 степени свободы потеряны при подгонке трех параметров p., ai и а2.
Снова используя то же приближение, что и в (П4.1.15), получаем совместную 100(1—а)%-ную доверительную область для параметров (ai, a2):
(а, - O1) + 2гхх (1) (а, - aj (а2 - а2) + (а2 - а2) <
„2
<2
4/2>JV_sO-»)
N
В качестве примера рассмотрим данные о партиях продукта, приведенные на рис. 5.2. В разд. 5.4.3 будет показано, что к этим данным вполне подходит процесс авторегрессии второго порядка. Используя значения гхх(\) и гхх(2) из табл. 5.2 и формулу (5.4.10),
получаем выборочные оценки параметров Gt1 =—0,32 и а2=+0,18.
Остаточная сумма квадратов S(ai, a2) равна 7768,5, так что s2 =
= 7768,5/65=119,6. Следовательно, приближенная 95%-ная доверительная область имеет вид
(a, + 0.32)2 - 0,78 (а, + 0,32) (а2 - 0,18) + (а2 - 0,18)2 < 0,077.
На рис. 5.15 показаны линии уровня точной суммы квадратов, изображенные на плоскости (ai, а2) в области, где процесс стационарен. Заштрихованная область является 95%-ной доверительной областью. Видно, что она лежит целиком внутри области стационарности.
5.4. Оценивание параметров линейного процесса
235
Общий процесс авторегрессии. Действуя так же, как и выше, уравнения правдоподобия можно приближенно записать в виде
CxxU)=Wxx(j - 1) + O2CxxU - 2) + . . . + ^nCxA) - т), (5.4.12)
где /=1, 2, ..., т. Аналогично для остаточной суммы квадратов получаем приближенное выражение
а„ . . ., oj = (N-т) [?„(0) — <*,<?,, (1)— ¦••
. . .-1тсхх(т)\. (5.4.13)
"г
95%-ная доверительная область
2ft ^
Рис. 5.15. Линии уровня суммы квадратов для процесса авторегрессии второго порядка, подобранного к данным о партиях продукта, изображенным на рис. 5.2.
Из (5.4.13) получаем приближенную выборочную оценку остаточной дисперсии
1
Sz = '
N - 2т - 1
'(г1- «I,
Наконец, используя (П4.1.15), можно написать приближенную доверительную область в матричных обозначениях
(а - а) С (а - а) < N-2т - \ лг-г™-! (1 — <0& где а' = (аь а2.....ат) и
СххФ) СххМ
•О)
CxAO)
. . . схх(т — 1)\ ... схх(т — 2)^
X
Cxxim-l) сХх(т-2)
АО) J
236
Г л. 5. Введение в анализ временных рядов
5.4.2. Выборочные оценки среднего правдоподобия для параметров авторегрессии
Так как функция правдоподобия (5.4.2) является с точностью до множителя многомерной нормальной плотностью, то с первого взгляда могло бы показаться, что ее можно адекватно описать с помощью средних значений и ковариации, как указано в разд. 4.4.1. Однако если выборочные оценки максимального правдоподобия лежат близко к границам области стационарности, то функция правдоподобия обрезается и требуется другой подход.
Выборочные оценки среднего правдоподобия для процесса авторегрессии первого порядка. Для иллюстрации рассмотрим процесс авторегрессии первого порядка с нулевым средним значением
Xl = a1Xt_i +Zf.
Функцию правдоподобия (5.4.2) можно в этом случае записать в виде
L (a, J X1) = K1 ехр
где
IV
1-1__
N
S x't — \
1=2
(5.4.14)
(5.4.15)
является выборочной оценкой максимального правдоподобия для ai. Отсюда видно, что при условии, если o2z известна, функция правдоподобия является с точностью до постоянного множителя нормальной со средним значением cti и дисперсией
yv
2 4-і
t—2
Описание функции правдоподобия (5.4.14) с помощью ее среднего значения и дисперсии было бы адекватным при условии, что область изменения cti была бы от —со до +со. Однако в силу того, что модель является стационарной лишь для |аі|<1, при описании с помощью нормальной плотности возникают трудности, когда функция правдоподобия имеет максимум вблизи |cti| = 1. В таком случае функция правдоподобия резко отсекалась бы в одной из
5.4. Оценивание параметров линейного процесса
237
точек on = 1, at = — 1, так что аппроксимация с помощью нормального распределения была бы несправедливой.
Методы преобразования правдоподобий, обсуждавшиеся в разд. 4.4.5, также неприменимы, так как не существует преобразования, дающего нормальное распределение, если функция правдоподобия заканчивается ненулевым значением. В этом случае наилучший снособ состоит в вычислении выборочной оценки среднего правдоподобия в интервале (—1, 1), определяемой равенством
і
ч = -^1-—.
J /.(O1)ATa1
Подставляя сюда L(af) из (5.4.14), получаем
a, = а, —
/U2) -/(?,)
(5.4.16)
где f(x) и F(X)
нормальная плотность вероятности и нормаль-
ная функция распределения соответственно, осі — выборочная оценка максимального правдоподобия и
Lo =
aJ. L2=--J—I —!—aJ
Если a2z неизвестна, то маргинальное правдоподобие для cxi можно получить, интегрируя (5.4.4) с дифференциалом d(az )/о2 как указывалось в разд. 4.4.6. Можно проверить, что после такого интегрирования получается следующее маргинальное правдоподобие для схь
W -1.-(^-1)/2
L1(I1) = К (N-2) si + 2 .(я,-a,)2 . (5.4.17)
t = 2
Случайная величина, соответствующая (5.4.17), имеет с точностью до постоянного множителя ^-распределение с (N— 2) степенями свободы. Величина s2 в (5.4.17) является обычной выборочной оценкой a2z, полученной по остаточной сумме квадратов, а именно
