Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
5.3.3. Свойства оценок ковариационных функций
Сейчас мы выведем свойства оценок ковариационных функций схх(и) и с'хх(и), связанные с первым и вторым моментами, предполагая, что сигнал x(t) (0 ^ t ^ 7") является реализацией стационарного случайного процесса X(г), обладающего следующими свойствами:
E [X (t)]= 0, (5.3.10)
COV[A-(Z), X(t + u)]=ixx(u), (5.3.11)
Cov [X (t) X(t-\- U1), X(v)X(v + u2)] =
= Ьх (V - ') Ьх (V - t + U2 - ">) +
+ 'xx(^-^+m2)Txx(^-^-«i) + ^4(^-^ «a). (5.3.12)
Функция Ki(v — t, Uu U2) в (5.3.12) является четвертым совместным кумулянтом случайного процесса X(t), так что для нормального процесса #4 = 0. Для других процессов можно показать [8], что при выводе свойств оценок ковариации вкладом этого члена
5.3. Оценивание ковариационных функций
215
можно пренебречь. Поэтому далее мы отбросим этот член. Заметим также, что сейчас предполагается E[X(t)] = 0. Эффекты, возникающие, когда допускается ненулевое среднее значение, обсуждаются лишь вкратце.
Среднее значение оценок ковариации. Используя (5.3.11), получаем среднее значение оценки ковариации (5.3.8)
Е[схх(и)]=Е
Т-\и\
г-1 ul
~ j X{t)X{t + u)dt = ±. j txx(u)dt =
-+)¦
О < I и |< т, \и\>Т.
Отсюда
Е[схх{и)\
Тхх(")(1 О,
I и К т, \и\>Т.
(5.3.13)
(5.3.14)
Аналогично
\и\>Т.
Таким образом, с'хх(и) является несмещенной оценкой ухх(и),
в то время как схх{и) только асимптотически несмещенная, когда длина записи T стремится к бесконечности. Однако ниже будет показано, что смещенная оценка имеет меньшую среднеквадратичную ошибку.
Ковариация оценок ковариации. Свойства оценок схх(и) и с'хх(и), связанные со вторыми моментами, можно вывести, используя (5.3.12), где мы отбросим член Ki- Подробный вывод этого результата с объяснением всех приближений дан в приложении П9.1 *'. Здесь дается лишь краткий набросок вывода и результаты иллюстрируются примерами.
Ковариация двух оценок**) схх(и\) и схх(и2), где аргументами взяты запаздывания и\ и U2 (причем предполагается и^и^О), равна
CXX(U2)]=C0V
1_
T
j X{t) X (t + и,) Л,
Cov [схх(иг)-
*) Во второй части книги. — Прим. перев.
**> Результаты для оценок c'xx("i) и с'хх ("2) получаются из результатов для cxx(«i) и схх {U2) с помощью замены T на T — | щ \ a T — | ы21. в знаменателе за знаком интеграла.
216
Г л, 5. Введение в анализ временных рядов
T-U1 "1 T-U1 T-U1
-i- J X(v)X(v +U2)dv =4г J J Cov [X(t)X(t + u1), о J о о
X (v) X (v+ U2)] dt dv. (5.3.15)
(Условие «2>иі^0 не является никоим образом ограничительным, как показано в приложении П9.1.) Подставляя (5.3.12) в интеграл (5.3.15), получим
T-U1 T-U1
Cov [схх (U1), схх (U2)] = -=- j j [ixx (v - t) ixx (v-t +
о 0
+ U2 - u{) + txx(v — t + u2)txx(v — t — U1)] dtdv. (5.3.16)
Замена переменных v — t = r, t = s преобразует область интегрирования из квадрата на плоскости (/, v) в параллелограмм на плоскости (г, s), как показано на рис. 5.11. После этого интегрирование в (5.3.16) сводится к
T-U2
CoV[Cxx(U1), схх(и2)]=-j2 j \ухх(г)чхх(г + и2-иЛ +
— (T-U1)
+ Ьх (г + »2) 7хх (г - Ux)] dr j ds, (5.3.17)
где пределы интегрирования определяются из параллелограмма на рис. 5.11. Так как подынтегральное выражение не зависит от s, интегрирование по s дает длину <р(г) отрезка на высоте г, а именно
IT — U2 - г, г ^ О,
T-U2, -(U2 -U1) <г < 0, (5.3.18)
T-U1+г, —(T — U1) < г (и2 — U1).
Поэтому из (5.3.17) и (5.3.18) получаем
Соу[схх(щ), Cxx(U2)] =
T-U1
= 4г J f(r)bxx(r^Xx(r + U2-Ul) + - (Т-щ)
+ Ixx (r + 1ХХ [г - «,)] dr. (5.3.19)
Результат (5.3.19) является точным. Первоначально он был получен в [8]. При Ui = U2 (5.3.19) приводится к симметричной форме
Т — и
Vv[Cxx(U)]=-^ j (Т-и-\г\)Х
- (Т-и)
X [T2Xx (г) + їхх (г + и) Тхх (г - ")] dr- (5-3-20)
5.3. Оценивание ковариационных функций
217
Для несмещенной оценки с'хх (и) результат, соответствующий (5.3.20), выглядит следующим образом:
Т — и
Var [с'хх(и)]= z7-,1Ih1 у, J (T-U- 1г|)Х
X [Т2хх (г) + їхх (г + м) ?хх (г - м)] rfr- (5-3.21)
Равенство (5.3.19) показывает, что в общем случае соседние значения оценок ковариационных функций будут сильно коррелиро-
P и с. 5.11. Области интегрирования для вычисления ковариационной функции.
ваны, и, следовательно, выборочные ковариационные функции не всегда затухают с такой же быстротой, как их математические ожидания. Этот эффект проиллюстрирован в разд. 5.3.5.
Одно полезное приближение. Вычисление ковариации по формуле (5.3.19) обычно очень трудно проводить, если только не сделать простых предположений о форме ковариационных функций. Одно полезное приближение для больших T предложено в [8]. Оно связано с тем, что
lim [T Cov [схх (U1), схх (U2)]} =
T-*- оо
OO
= I Ьхх (г) ?хх (г + и2 - "i) + Тхх (г + »г) -ixx (г - "i)J dr
—со
218
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
и, следовательно, для больших T
COV[Cxx(U1), схх(и2)]ях
со
~ "Г і Ьхх И Ьх (г+ U2-U1) + Тхх (г + U2) Тхх (г - K1)] dr.
—со
(5.3.22)
Пример. Рассмотрим непрерывный процесс авторегрессии первого порядка, у которого ухх(и) = a2 e~^ul (эта функция обсуждалась в разд. 5.2.4). Подставляя эту \хх(и) в (5.3.20), получаем
