Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
^-{[е-"-» + «(I-у)_1]+в-"-« +
Vdr[cxx (и)} =
+ е~ау [а (1 - 2у) - 1 + «2У (l - 4" у)
4 j[в_.(,_„ +.(1 _у)_ j] + е-°у (1 _у2)) t
2^27-2
(5.3.23)
где а = 2ХТ, U = UJT (этот результат приведен в [9]).
Точный результат для несмещенной оценки с' (и) можно получить, подставляя (7"— |«|) вместо Гза знаком скобок в (5.3.23). Приближение (5.3.22) для оценки Схх(и) сводится к отбрасыванию членов порядка 1/Г2, в результате чего получаем
Var [схх (и)[ + е~*> + ауе~лу) .
(5.3.24)
Дисперсии двух оценок схх(и) и с'хх(и) в зависимости от запаздывания и изображены на рис. 5.12 для случая XT = 2,5. Видно, что эти дисперсии совпадают при и = 0, но при и-*-T дисперсия смещенной оценки стремится к нулю, в то время как дисперсия несмещенной оценки стремится к бесконечности. Именно это свойство несмещенной оценки с'хх (и) и делает ее такой неудобной.
Среднеквадратичная ошибка оценок ковариаций. Для того, чтобы сравнение двух оценок было справедливым, нужно сравнивать их среднеквадратичные ошибки. Используя выражение (4.2.12) для среднеквадратичной ошибки, а именно
Е Ксхх (") - Ьх Щ] = Var [схх (и)] + В2 [схх (и)},
5.3. Оценивание ковариационных функций
219-
и выражение (5.3.13), из которого можно получить смещение В[схх(и)], находим среднеквадратичные ошибки смещенной и несмещенной оценок:
Е \(схх (") - Т„ W] = Var Iеxx <">] + 4 (4-)2 е~2Ы
и
^ [ Kx (и) - Тхх (и))2 ] = Var [схх (и)].
0,4 г
Эти среднеквадратичные ошибки показаны нарис. 5.12 вместес дисперсиями для непрерывного процесса авторегрессии первого порядка с xt = 2,5. Мы видим, что среднеквадратичная ошибка для с'хх{и) устойчиво держится выше, чем для Схх(и) (этот результат отмечен в [10]). Мы доказали здесь это утверждение для упомянутой выше ковариационной функции, однако есть предположение, что оно справедливо и для большинства других ковариационных функций [11].
220
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
Эргодичность. Из (5.3.13), (5.3.14) и (5.3.22) следует, что для больших T математические ожидания Схх(и) и с'хх(и) равны
Ухх(и), а дисперсии пропорциональны 1/Т. Следовательно, эти две оценки ковариационных функций являются асимптотически состоятельными. Таким образом, ковариационную функцию E[X(t)X(t + + «)] процесса X(t) можно оценить с произвольно малой ошибкой с помощью единственной достаточно длинной записи. В таком случае для ковариационной функции среднее по времени, взятое по одной бесконечной записи, равно среднему по ансамблю, и поэтому ковариационная функция называется эргодической. Во многих книгах этому свойству уделяется большое внимание, но в действительности оно не представляет большого физического интереса, поскольку наблюдаемые временные ряды имеют конечную, а не бесконечную длину.
Поправки, возникающие из-за среднего значения. Смещение ¦оценки ковариации (5.3.8) можно получить, записывая (5.3.8) в виде
г-1 и I
cxx(i) = ~ J [A-(Z)-H \X(t -{-U)-V] dt -_(l_J|l)(*_,)2.
Отсюда следует, что
Е Гсхх(«)] - (l - 1^) Т„ (») - (1 - -щ [X] . Наконец, из (5.2.19) получаем
г
Var [X] = ±-_|( 1 - -if-) 1хх(у)dy,
так что центрирование с помощью выборочного среднего увеличивает смещение еще больше на члены порядка 1/Т и более высокого.
5.3.4. Выборочные оценки ковариации для случая дискретного времени
Если наблюдения Х\, х%, xN получены из дискретного временного ряда, то дискретная выборочная оценка, соответствующая непрерывной оценке (5.3.5), равна
cxx{k)=-w 2 (*«-*)(¦*«+*-*). ^=0' і. .... Л/-1,
(5.3.25)
5.3. Оценивание ковариационных функций
221
где
1 N X = -jj 2 xt
t = \
является выборочным средним значением всего ряда.
Приближенное значение ковариаций оценок, соответствующих выборочным оценкам (5.3.25), можно получить, заменяя интегралы в (5.3.22) суммами, а именно
OO
Cov[cxx(k), cxx(l)}^~ 2 [WW' + /-*) +
г= — OO
+ Tf^ (г +О (»"-*)]. (5-3.26)
Выборочные оценки ковариаций для данных, пропущенных через фильтр. Иногда бывает нужно сосчитать выборочные оценки ковариаций для данных, пропущенных через фильтр. Например, может оказаться желательным устранить тренды из xt, образуя новый ряд данных yt с помощью операции линейной фильтрации
yt = xt — axt_x. (5.3.27)
Если а = 1, то yt представляет собой ряд первых разностей, а если а = — 1, то ijt — скользящая сумма пар первоначального ряда. Сейчас мы покажем, что выборочные оценки ковариаций cyv(k) для данных, пропущенных через фильтр, можно выразить через выборочные оценки ковариаций cxx(k) исходных данных. Этим достигается значительная экономия машинного времени.
Согласно (5.3.25), имеем для выборочной оценки cyy(k) после фильтрации следующее выражение:
суу^) = 1Т 2 (У/-у)(У/+*-у). (5.3.28)
где
У = -дГ 2 {xt — a.xt_-)^{\ - а)х. / = і
Подставляя (5.3.27) в (5.3.28), получаем
суу(^)^^Г 2 і\х, —OX1^i-(\ -а)х\х / = і
X [xt+k-axt+k.l — (\ -a)x}\ =
N-k
/ = 1
X [(*,+* - x) -oU+t_, - x)].
222
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
Раскрывая это выражение, находим
Суу (к) я» схх (к) - асхх (k - 1) - асхх (k + 1) + а2схХ (k) =
= -асхх (ft - 1) + (1 + d2) схх (к) - асхх (к + 1). (5.3.29)
