Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Важность модели (5.2.50) состоит в следующем: в то время как модель, основанная на чисто авторегрессионном процессе или на чистом процессе скользящего среднего, может потребовать большого числа параметров, для смешанной модели (5.2.50) их может потребоваться относительно немного.
5.2.6. Интерпретация корреляционной функции
Случайный процесс называется гауссовским, или нормальным, если многомерное распределение, связанное с произвольным набором значений времени, является многомерным нормальным распределением. В этом случае процесс полностью определяется своим средним значением, дисперсией и корреляционной функцией. Однако существует обширный класс негауссовских процессов, имеющих ту же самую корреляционную функцию, что и заданный гаус-совский процесс, но заметно отличающихся от него в других отношениях. Например, в разд. 5.2.4 было показано, что модель (5.2.24) приводит к показательной корреляционной функции рхх(и) = е-'"'/г. Если входной процесс системы первого порядка
5.2. Корреляционная и ковариационная функции
209
(5.2.24) является нормальным, то можно показать, что выход также будет нормальным и, таким образом, полностью задается своей корреляционной функцией.
Сейчас мы построим другой процесс, имеющий показательную корреляционную функцию, но в других отношениях сильно отличающийся от нормального процесса. Этот процесс называется случайным телеграфным сигналом и описан в [9]. Альфа-частицы радиоактивного источника служат для запуска триггерного устройства, принимающего попеременно значения +1 и —1. Моменты tu
+1
0
-1
-
t
Рис. 5.10. Реализация случайного телеграфного сигнала.
в которые происходят изменения процесса, образуют пуассоновский процесс с параметром X, так что типичная реализация процесса могла бы быть такой, как показано на рис. 5.10. Предполагая, что процесс начался при г = —со, мы получим
Pr {X(O = 1} = Рг \X(t) = -1)=4-,
откуда E[X(t)] = 0. Следовательно, ковариационная функция равна
1 X Pr {четное число изменений в (t, t + u)},
^x(U) = В [X(t)X(t +и)} =
¦1 X Pr{нечетное число изменений в (t, t + и)},
где
* = 0
»-М " 1
Pk-
(M« I у
210
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
Просуммировав эти ряды, получим
Т„(.,_^..|[^Ь?1
2
= е-ыI» I =
так как ухх(0) = 1. Если K = T12, то эта функция совпадает с корреляционной функцией (5.2.25). Так как распределение X(t) сосредоточено в двух точках ±1, поведение этого процесса заметно отличается от нормального с той же самой корреляционной функцией. В действительности такие негауссовские процессы нужно описывать с помощью их старших моментов
Важность этого раздела для эмпирического анализа временных рядов заключается в том, что при интерпретации корреляционной функции (и, как мы увидим ниже, соответствующего спектра) необходима определенная осторожность в случае, если процесс негауссовский. Может, однако, оказаться, что после некоторого преобразования, основанного на эмпирической плотности вероятности, распределение будет более близким к нормальному. Например, неотрицательная величина, такая, как температура или давление, возможно, стала бы более близкой к нормальной, если бы был использован логарифмический масштаб. Заметим, однако, что если даже такое преобразование и приближает одномерную плотность к нормальной, оно не обязательно оказывает такое же действие и на многомерные распределения.
В разд. 5.1.5 было показано, что обладающую наименьшей среднеквадратичной ошибкой оценку функции отклика некоторой системы на единичный импульс можно было бы выразить через ковариационные функции входа и выхода. На практике невозможно знать эти ковариационные функции точно, и, следовательно, необходимо оценивать их по записям конечной длины.
В разд. 5.3.1 будут выведены выборочные оценки наименьших квадратов для функции отклика на единичный импульс в случае, когда в распоряжении имеются конечные записи входа и выхода. Будет показано, что результаты получаются аналогичные тем, которые были выведены в разд. 5.1.5, с той разницей, что теоретические ковариационные функции заменяются их выборочными оценками. Кроме того, будет показано, что этот подход приводит к вычислению по данным таких функций, которые являются естественными выборочными оценками авто- и взаимных ковариационных функций. В разд. 5.3.2 определяются другие выборочные оценки
E\X{t)X(t + Ul) . . . X(t + uk)].
5.3. ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ
5.3. Оценивание ковариационных функций
211
автоковариационной функции, а в разд. 5.3.3 выводятся их выборочные свойства. Разд. 5.3.4 и 5.3.5 состоят из обсуждения некоторых практических вопросов, возникающих при оценивании автоковариационной функции.
5.3.1. Анализ систем методом наименьших квадратов
Предположим, что вместо случайных процессов X(t) и Y(t), являющихся входом и выходом системы на рис. 5.7, имеются лишь реализации конечной длины Т. Тогда модель (5.1.10) можно переписать в виде
OO
y(t) - у = J h(u) [x(t — «)-Jc] du + z(t), 0<Z<7\ (5.3.1) о
где х, у — выборочные средние, например
