Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
ТГ„(«) = 48(и), (5.2.5)
где 6 (и)—дельта-функция Дирака. Поскольку б (и) можно рассматривать как функцию, равную нулю при ифО и бесконечную при и = 0, то мы добились того, что ковариация между соседними точками равна нулю, хотя для этого пришлось сделать бесконечной дисперсию процесса Yzz(0). Ниже мы покажем, что бесконечная величина дисперсии получается неизбежно.
5.2.2. Линейный процесс и его ковариационная функция
Важный класс процессов можно получить с помощью пропускания чисто случайного процесса через линейную систему, или фильтр. Для непрерывного времени соотношение между выходным процессом X(t) и входным процессом Z(t) можно записать в виде
OO
X(Q-V-= j h(v)Z(t — v)dv, (5.2.6)
о
5.2. Корреляционная и ковариационная функции
195
а для дискретного времени — в виде
OO
где E[Z(t)] = 0 и E[Zf] = O. Случайный процесс, который получается из белого шума с помощью выражений (5.2.6) или (5.2.7), называется линейным процессом.
Беря математическое ожидание от обеих частей в (5.2.6), получим
OO
E[X(t)-v\ = § h(v)E[Z(t-v)] dv = 0,
о
E [X (()] = V Отсюда ковариационная функция выхода равна Ьх (и) = E [(X (t) - v) (X (t + u)- V)} =
OO OO
= f J h (v) h (v') E\Z(t-v)Z(t + u- v')] dv dv'. (5.2.8)
O O
Если процесс Z(V) стационарен и имеет ковариационную функцию Yzz(и), то (5.2.8) сводится к
OO OO
їхх (и) = f J h (v) h (v') ч22 (и+ v- v') dv dv'. (5.2.9)
O о
Подставляя в (5.2.9) вместо \zz(u) ковариационную функцию белого шума (5.2.5), получим
OO
1ХХ (и) = 4 J A (V) h(v + u)dv. (5.2.10)
о
Отсюда корреляционная функция линейного процесса X(t) равна
OO
J h (v) h (V + и) dv
Pxx(") = ^S-• (5.2.11)
J W-(v) dv о
В гл. 6 будет показано, что процесс X (t) является стационарным, если
OO
j\h(v)\dv<M, (5.2.12)
о
где M — конечное число. Заметим, что условие (5.2.12) совпадает с условием (2.3.11) устойчивости линейной системы.
7*
196
Г л. 5. Введение в анализ временных рядов
В приложении П5.2 как обобщение результата (5.2.10) получены следующие выражения для третьего и четвертого моментов и для четвертого кумулянта:
E [(X (t) - (X) (X (t + U1) - (X) (X (t + U2) - у.)] =
DO
= ? [Z3] j h(V)h(V + M1)h(v + u2)dv, (5.2.13) E [(X (t) - (х) (X (t + и,) - (X) (X (^ + M2) - JX) (X (t + U3) - (х)] =
OO
- E [Z4] j Л (V) h (V + и,) Л (•u + и2) Л (V + и3) uto (5.2.14)
о
и
оо
/С* (M1, н2, M3) = /C4 (Z) j Л (г») Л (V + M1) Л (г) + M2) h (v + м3) flfo,
(5.2.15)
где
/Cx(M11 м2, н3) = ? [(X(t)- ,»)(*(* + «,) -(х)(Х(* + м2)- (і) X X (X (t + M3) - (X)] - Тхх (M1) чхх (M3 - M2) -- Ьх К) Тл-х ("з - «О - (»з) Т*х («2 - ".) (5.2.16)
и
K4(Z) = E [Z4O] -За4г.
Соответствующие формулы для дискретного линейного процесса (5.2.7) можно получить, заменяя интегралы на суммы. Например, (5.2.10) переходит в
OO
ъ(*)=4 2*л+.. С5-2-17)
а условие стационарности, или стабильности, соответствующее условию (5.2.12), имеет вид
OO
2 \hjКМ, (5.2.18)
где M — конечное число. Неравенство (5.2.18) совпадает с условием устойчивости (2.3. 39) для дискретных систем.
Пример линейного процесса. Как частный случай линейного процесса рассмотрим среднее значение процесса Z (t), сосчитанное по конечному интервалу Т, т. е.
t
Х(0 = ~г j Z(v)dv.
5.2. Корреляционная и ковариационная функции
197
Отсюда
A(X») =
О, г»<0, , 0 < V < Т,
О, v>T.
Математическое ожидание X(t) равно
E\X(f)]^-~] E [Z(v)[ dv = 0
t-т
при условии, что E[Z(t)]~0. Если Z(t)—произвольный стационарный процесс, то, используя (5.2.9), получаем ковариационную функцию процесса X(t):
T T
Ьх (") = -W И bz (" + v * v"> dv dv'-
о 0
Сделав замену y = v — v' и положив « = 0, получим
+ т
Var [A- (t)] = -і- J (l - ЦР) hz (у) dy. Если Z(V) — белый шум, то (5.2.19) сводится к
Var [X(t)[
2
:<SX-
4
(5.2.19)
(5.2.20)
Заметим, что (5.2.20) совпадает в дискретном случае с выражением для дисперсии среднего арифметического, состоящего из T независимых случайных величин, а именно
-± T 1
Var [Z] = Var
T ^ Zk
Таким образом, для дискретного белого шума дисперсия среднего арифметического равна дисперсии сигнала Z, деленной на число наблюдений, но для белого шума с непрерывным временем конечная величина о| /Т получается при делении бесконечной дисперсии
на бесконечное число независимых наблюдений. Этот пример достаточно хорошо показывает, что интерпретацию и получение результатов с помощью белого шума нужно проводить очень осторожно.
Следует отметить, что дельта-функция в выражении (5.2.5) для ковариационной функции белого шума является существенной частью, а не просто служит параметром «расположения». Это означает, что дисперсия действительно бесконечна и ковариация между сколь угодно близкими значениями действительно равна нулю. Для того чтобы физически сколь угодно близкие значения
198
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
процесса были некоррелированными, т. е. чтобы процесс мог без ограничений флуктуировать от момента к моменту, он должен иметь бесконечную дисперсию.
Процесс Башелье—Винера. По аналогии с дискретным процессом (5.1.9) для непрерывного времени также можно построить процесс, имеющий некоррелированные приращения. Формально непрерывный аналог случайного блуждания можно записать в виде
