Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Иногда xi(t), xi(t) являются входными сигналами некоторой физической системы, а x/+i(0, ..., xq(t)—соответствующими выходными сигналами той же системы. Например, Xi(O могло бы характеризовать скорость потока холодной воды у впускного отверстия в водонагреватель, a x2(t) —температуру потока у выпускного отверстия. Зная устройство водонагревателя, можно сделать разумный прогноз ряда x2(t) по ряду Xi(O- В этом случае временные ряды неравноправны, поскольку изменения xi(t) могут вызвать изменения в at2(O, но не наоборот.
178
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
Таблица 5.1
Выход продукции в 70 последовательных партиях промышленного процесса
1-Ю 11—18 19-28 29-36 37—16 47-54 55—64 65-70
47 71 37 25 45 44 53 39
64 35 74 59 54 64 49 59
23 56 51 50 36 43 34 40
71 40 58 71 54 52 35 57
38 58 50 56 48 38 54 54
65 44 60 74 55 60 45 23
55 80 44 50 45 55 68
41 55 57 58 57 41 38
59 50 50 50
48 45 62 60
Теперь должно быть ясно, что слово «ряд» во временных рядах употребляется весьма вольно для обозначения непрерывных функций времени А'(г) или же дискретных последовательностей {А';}, упорядоченных во времени. Слово «время» также употребляется весьма вольно в том смысле, что t может относиться к некоторому другому физическому параметру, такому, как пространственная координата. Например, при изучении вибрации самолета иногда производят эксперименты, в которых датчики деформации прикрепляются к крылу или к какой-нибудь другой части самолета, и флуктуирующие напряжения в этой структуре измеряются на различных высотах полета. Хотя самолет летит в течение некоторого промежутка времени, полученная запись является скорее функцией области в пространстве, пересекаемой самолетом, чем функцией времени.
Временные ряды, зависящие от нескольких переменных. В некоторых случаях ряд является функцией x(U, h, ..., 4) нескольких физических параметров ti, ?>, • •., h. В этом случае он называется случайным полем. Например, x(t\, t2) может представлять измерения локальных флуктуации магнитного поля Землі; в точке с координатами ti, І2- В других случаях изучаемый процесс может быть многомерным, а также зависеть от нескольких переменных. Например, геофизики заинтересованы в исследовании соотношения между магнитным полем Земли Xi(fi, t2) и глубиной океана х2(іі, t2).
5.1. Стационарные и нестационарные случайные процессы
179
5.1.2. Описание случайного процесса
Определение случайного процесса. При анализе данных в виде временных рядов возникает необходимость выполнять различные операции над фактическими числами, полученными из некоторого эксперимента. До того как данные собраны, удобно рассматривать их, как это делается во всех статистических работах, как один из многих наборов данных, которые могли бы быть получены из этого эксперимента. Это достигается тем, что с каждым моментом времени t в интервале (—оо t ^ оо) связывается некоторая случайная величина X(t), имеющая выборочное пространство {—оо ^ (t)^oo) и плотность вероятности fX(t)(x). Кроме того, нужно задать совместные плотности вероятности, относящиеся к любому произвольному набору моментов времени (t\, tz, ..., tn). Таким образом, временной ряд можно описать с помощью упорядоченного множества случайных величин X(t) (—оо ^ t =? оо) в случае непрерывного ряда и упорядоченного множества случайных величин {Xt), t = 0, ± 1, ± 2, ..., в случае дискретного ряда.
Упорядоченное множество случайных величин называется случайным процессом. Случайный процесс дает вероятностное описание физического явления, которое развивается во времени по вполне определенным вероятностным законам. Заметим, что выборочное пространство, связанное с одномерным случайным процессом, дважды бесконечно. Оно простирается для каждого момента времени от —оо до +со, и само время изменяется также от —оо до +оо. Дважды бесконечное множество функций времени, которые могут быть определены на этом выборочном пространстве, называется ансамблем.
Ансамбль. Наблюденный временной ряд x(t) рассматривается как одна реализация бесконечного ансамбля функций, которые могли бы быть наблюдены. Этот один или несколько временных рядов, предназначенных для анализа, рассматриваются как выбранные случайным образом из такого ансамбля функций, наподобие того, как производится выборка лиц среди населения для проведения обследования. Такая выборка Должна быть представительной для всего описываемого населения, что следует учитывать, начиная обследование. Точно так же при работе с временными рядами для ясного понимания вопроса полезно в начале исследования описать точный характер ансамбля, или популяции, типичным представителем которого считается наблюденный временной ряд.
Предположим, например, что нужно измерить высоту волн с помощью передатчика, прикрепленного к бую. Если буй бросают в море случайным образом, то наблюденный временной ряд можно ¦было бы рассматривать как один из многих рядов, которые,
180
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
возможно, наблюдались бы при слегка отличающихся местоположениях буя. Более тщательная проверка, возможно, обнаружила бы, что этот временной ряд типичен, если принять во внимание конкретное время дня или время года или же конкретный район в океане. Чем больше факторов влияют на эксперимент, тем шире становится ансамбль описываемых временных рядов и, следовательно, тем большая осторожность требуется при интерпретации результатов.
