Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Мы видим, что преобразование изменяет выборочную оценку среднего правдоподобия сильнее для асимметричного правдоподобия (г=1), чем для более симметричного правдоподобия (л = 3).
4.4.6. Оценивание среднего значения и дисперсии нормального распределения
Чтобы проиллюстрировать описанные в предыдущих разделах способы получения выводов, основанных на правдоподобии, рассмотрим задачу оценивания среднего значения и дисперсии по выборке наблюдений, которые по предположению имеют нормальную плотность вероятности. Воспользовавшись (4.2.1), получаем функцию правдоподобия для ц. и а2 в виде
(4.4.17)
Удобный способ описания двумерных правдоподобий состоит в построении на плоскости (ц., а2) контуров постоянного уровня функции правдоподобия. Если функция правдоподобия является двумерной нормальной функцией, то эти контуры будут эллипсами; в противном случае можно иногда так преобразовать параметры, что функция правдоподобия будет приблизительно двумерной нормальной функцией.
Так как функция правдоподобия (4.4.17) является нормальной по отношению к ц, то необязательно искать преобразование этого ¦ параметра. К тому же, так как оценки для р. и а2 независимы, то необходимо найти лишь преобразование для о2.
160
Гл. 4. Ееедение в теорию статистических выводов
Из (4.4.17) получаем
dl «
< = і
и
дЧ п
2 - !х)2- (4.4.18)
і = і
Получаем выборочные оценки максимального правдоподобия
п
V = х, о2 = — 2 Ut - xf,
і = 1
и в точке, координаты которой равны этим оценкам, выражение (4.4.18) становится равным
дЧ _ _ п
Отсюда, пользуясь (4.4.16), получаем, что преобразование, приводящее к нормальному распределению, имеет вид ф = In а2. Функция
ff2= UOZSkB
і і і ill. і і I P и с. 4.7. Контуры линий уровня прав--0,1I -0,2 0 0,2 0,4 доподобия для среднего значения и дис-1П(Г2 Персии нормальных наблюдений при
я= 100.
правдоподобия для данных о транзисторах, изображенных на рис. 3.3, показана на рис. 4.7 как функция ц. и In о2. Мы видим, что контуры функций правдоподобия очень близко аппроксимируются эллипсами в области, где функция существенна.
Маргинальные правдоподобия. Двумерная функция правдоподобия (4.4.17), если ее построить как функцию \х и In о2, ведет себя в сущности как произведение двух нормальных распределений. Проинтегрировав Ь(ц, а2) по р, мы получим маргинальное правдоподобие для а2, а именно
OO I п \
M"2)= J L(V> °2)^— (Y2i\)n-i exp|--S55-z Ui-xf .
(4.4.19)
162
Гл. 4. Введение в теорию статистических выводов
Далее, двумерная функция правдоподобия приблизительно нормальна по переменным ц. и ф = 1по2, так что маргинальное правдоподобие для р. можно получить, проинтегрировав L(u, ср) по <р, т. е.
rf(e2)
2 (¦*« - ^)2
-л/2
(4.4.20)
Маргинальные правдоподобия (4.4.19) и (4.4.20) показаны на рис. 4.8 и 4.9 для данных о транзисторах, приведенных на рис. 3.3. Маргинальное правдоподобие для д. построено как функция от ц., а маргинальное правдоподобие для о2 построено как функция от Ina2. Отметим, что маргинальное правдоподобие для а2 пропорционально х2-распределению, а маргинальное правдоподобие для ц— z-распределению. Отсюда вероятные области для ц. и о2 в этом примере были бы точно такими же, как в разд. 4.2, где они были получены с помощью метода выборочных распределений.
4.5. РЕЗЮМЕ
В этой главе обсуждено три аспекта теории статистических выводов, причем особое внимание уделялось задачам оценивания параметров. Эти три аспекта являются следующими: метод выборочных распределений, метод наименьших квадратов и метод правдоподобия. Четвертый метод — Байесовский подход— был опущен, но он очень похож по виду на метод правдоподобия.
Эти три вида статистических выводов не являются разрозненными, а представляют собой результат постепенного исторического развития. Кроме того, ответы на практические задачи, полученные при использовании различных методов, не будут существенно отличаться, а во многих случаях вообще не будут отличаться. Например, метод выборочных распределений в качестве выборочного распределения среднего значения дает /-распределение с (п—1) степенью свободы, а метод правдоподобия дает то же самое распределение для маргинального правдоподобия. В методе выборочных распределений /-распределение с (п— 1) степенью свободы
представляет распределение возможных значений х около д. в повторных выборках, в то время как в методе правдоподобия оно
представляет распределение вероятных значений \х около х.
Естественно, что исторически первым должен был появиться метод выборочных распределений, так как он требовал лишь непосредственного применения существовавшей теории вероятностей к задачам статистических выводов. Например, выборочное распре-
4.5. Резюме
16»
деление некоторой оценки является распределением вероятностей, дающим относительную частоту появления значений оценки в повторных выборках объема п. По плотности вероятности этой оценки можно сосчитать область, покрывающую истинные значения параметров с вероятностью 1 —а. Заменяя оценки на выборочные оценки, полученные по данной выборке, мы получим 100(1 — а)%-ную доверительную область для параметров.
