Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 1" -> 54

Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 1 — М.: Мир, 1971. — 317 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt11971.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 94 >> Следующая

Рис. 5.3. Представители ансамбля, образованного случайным процессом.
Во многих практических задачах интересно знать, как изменяются свойства временного ряда, когда некоторые внешние условия намеренно изменяются по плану эксперимента. В других случаях невозможно осуществлять контроль над внешними факторами. Например, нельзя управлять солнечной радиацией при изучении ее влияния на статистические свойства атмосферной турбулентности. Тем не менее корреляция статистических свойств временных рядов с этими неконтролируемыми факторами может ока-
5.1. Стационарные и нестационарные случайные процессы
181
заться важнейшим выводом, полученным из анализа рядов. Основная цель этого обсуждения заключается в том, чтобы показать следующее: вопрос о том, из чего должен состоять ансамбль возможных временных рядов в любой конкретной задаче, должен решаться на основе разумных научных заключений, а не на основе чисто статистических аспектов.
Распределения вероятностей, связанные со случайным процессом. Если ансамбль ясно определен, то поведение временного ряда в данный момент времени можно описать до сбора данных с помощью случайной величины X(t) и ее плотности вероятности fx(t)(x) *'• Как подчеркивалось в гл. 3, выбор функции fx(t)(x) является делом здравого суждения или опыта.
Аналогично случайные величины X (ti) и X (t2),соответствующие двум моментам времени ti и t% можно описать с помощью их совместной плотности вероятности f „,,,„„, (-"Ci, X2), которую сокра-
щенно обозначим fi2(xi, X2). Один из способов интерпретации этих плотностей вероятности состоит в следующем: через отверстие шириной 8xi, расположенное около точки хі, в момент времени ti проходят члены ансамбля функций, составляющие от него долю /і(л'і)бхі, как показано на рис. 5.3; аналогично через отверстие от Xi до Xi+OXi в момент времени ti и отверстие от Хг до Хг+ Ox2 в момент времени t2 проходят члены ансамбля, составляющие долю
/іг(Хі, Х2)бХібХ2-
Другой полезной функцией является условная плотность вероятности
Z211(X1, X2)= ^ ^ , (5.1.1)
которая читается как «плотность вероятности X2 при условии Xi = = xi». Таким образом, из проходящих через отверстие от X4 до Хі+бхі в момент ti членов ансамбля, составляющих от него долю fi(xi) б xi, только часть функций, составляющая от прошедших долю f,„ (xi, X2) 6x2, пройдет через отверстие от X2 до Хг+ 6x2 в момент t2.
2[1
В общем случае одномерный случайный процесс может быть описан с помощью совместных плотностей вероятности
/XJ,) X U2) ... X (tn) (XV Х2> • • •' Хп)
для произвольно выбранного набора моментов времени ti, t2, ..., tn, но такое описание могло бы быть довольно сложным. На практике необходим более простой подход, основанный на младших моментах.
*) Строго говоря, случайные величины X (г) следует описывать их функциями распределения, так как плотности вероятности могут не существовать, но мы не будем обращать на это внимания, поскольку это несущественно^ с практической точки зрения.
182
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
Простые моменты случайного процесса. Для любого t можно определить одномерные моменты вида
OO
E [(X(*))*]= J x*fXU)(x)dx. (5.1.2)
— OO
Отсюда очень просто описать случайный процесс, построив функцию среднего значения \*,(t) и функцию дисперсии о2(г) в зависимости от времени. Аналогично двумерные моменты
ОЭ OO
f [(*('.)№('»))'] 1 1 (,,>*(..>(*!• ъ)*** (5Л-3)
— OO —OO
можно было бы использовать для описания зависимости между значениями временного ряда в двух соседних точках t\ и t2. Простейшим из моментов (5.1.3) и наиболее важным на практике является автоковариационная функция *'
Тхх (',. t2) = E [(X{t.) - ц (/,))(A1 (Z2) - р (?))] . (5.1.4)
•Отметим, что yxx(tu ti) =02(/i). Заметим также, что ковариационная функция временного ряда имеет те же свойства, что и кова-риация между двумя случайными величинами Xi и X2 (эти свойства мы перечислили в разд. 3.2.2).
Поскольку yxx(ti, ti) зависит от масштаба измерения X, удобно при сравнении двух рядов, которые могут иметь различные масштабы измерения, определить нормированную величину, называемую автокорреляционной функцией *)
Подобно обычному коэффициенту корреляции (3.2.19), pxx(tu h) лежит между крайними значениями —1 и +1, соответствующими полной отрицательной и положительной линейным зависимостям.
Вообще, случайный процесс можно было бы описывать с помощью его старших моментов
E [(X (*,))*¦ (X (<8))*... (X(Qfn], (5.1.5)
но они не очень полезны на практике.
5.1.3. Стационарность и ковариационная функция
Стационарность. В общем случае свойства случайного процесса будут зависеть от времени. Часто ради упрощения предполагают, что ряд достиг некоторой формы устойчивого состояния, или равновесия, в том смысле, что статистические свойства ряда не зависят
*) Там, где это не может привести к недоразумениям, мы будет использовать более простые термины: ковариационная функция и корреляционная функция. — Прим. перев.
5.1. Стационарные и нестационарные случайные процессы
183
от абсолютного времени. Например, было бы разумно предположить для данных о партиях продукта, приведенных на рис. 5.2, что если бы контроль за процессом осуществлялся достаточно хорошо, то статистические свойства ряда оставались бы довольно стабильными во времени. Наименьшее требование для того, чтобы это было верно, состоит в том, что плотность вероятности fx(t) (х) не должна зависеть от времени и, следовательно, стационарный временной ряд имеет постоянное среднее значение ц. и постоянную дисперсию а2. Поэтому одинаковую для всех моментов времени плотность вероятности fx (х) можно оценить, построив гистограмму данных так, как это описывалось в гл. 3. Например, гистограмма данных табл. 5.1 показана на рис. 5.4.
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 94 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed