Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Система, аппроксимируемая линейной системой
Выходной случайный процесс YJt)
О
+ Сигнал разности Z(t)
Линейная система с импульсным откликом п(и)
Рис. 5.7. Определение отклика на единичный импульс на основе минимума среднеквадратичной ошибки.
X{X(t-u)-M)du
(Y V) ~Vy) J h(u)X
+ E
J lh(u)h(v)X
о о
(5.1.12)
X (X (t - и) - ^x) (X (t-v)- м) du dv
OO СО OO
= TKK(0)-2J H (u)txr(u) du+$ J h(u)X
O OO
X H (v) Yxx- (и — v) du dv, где yyy(O) = o2y — дисперсия Y(t);
Чху (и) = E [(X (і) - Px) (Y (t + и) - ^)] есть взаимная ковариационная функция между X (t) и Y(t+u) и
Тхх (и) = E [(X (t) - Vx) (X (t + u)- Vx)]
есть автоковариационная функция X(t).
Отсюда среднеквадратичная ошибка полностью определяется ковариационными функциями \yy(0), Уху(и), уХх(и) и откликом на единичный импульс h(u).
192
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
Функцию п(и), дающую минимальную среднеквадратичную ошибку, можно получить с помощью вариационного исчисления, как показано в приложении П5.1, откуда следует, что h (и) должна удовлетворять интегральному уравнению Винера—Хопфа
со
Тх-к («)= j h(v)iXx(u — v)dv, н>0. (5.1.13)
— со
Заметим, что h(v) должна тождественно равняться нулю при отрицательных и, чтобы аппроксимирующая система была физически реализуемой.
Основная мысль этого раздела заключается в том, что линейная система, дающая наилучшую аппроксимацию к данному процессу, полностью определяется ковариационными функциями уХх(и) и Уху(и). В этом одна из причин широкого использования этих функций.
5.2. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ И КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИИ
5.2.1. Основные свойства
В этом разделе выводятся свойства корреляционной и ковариационной функций. Взаимную ковариационную функцию уху(и), введенную в разд. 5.1.5, мы будем подробно обсуждать в гл. 8.
В общем случае случайный процесс X(t) имеет ковариационную функцию
CoV[A-(O, + =Тхх(*. t + u) (5.2.1)
и корреляционную функцию Рхх(t. t + u)- Covl* (О. *<* + »>]---------
{Var [Jf(O] Var [X(t + u)\Y^
[Tхх V' '> 1хх + < + ")}'/2 °х (О «*(< + «) Если X (t)—стационарный, то (5.2.1) и (5.2.2) сводятся к
(5.2.2)
и
Cov [X (/), X(t + и)] = тхх (в) (5.2.3)
соответственно. Отсюда
Тхх(и) = охРхх(и).
Функция рхх (и), зависящая от запаздывания и, называется корреляционной функцией стационарного процесса X(t). Если процесс
5.2. Корреляционная и ковариационная функции
193
непрерывный, и может принимать любое значение от —се до +со; для дискретного же процесса рхх(и) будет определена лишь для целых значений и.
Ниже перечислены и коротко объяснены свойства корреляционной функции (5.2.4).
Свойство 1.
Рхх (0)=1.
Это немедленно следует из определения (5.2.4), если положить ы = 0.
Свойство 2.
Из-за стационарности процесса мы имеем
Тхх (и) = Cov [X (t), X(t + u)]=Cov[X(t-u), X(t)] = = Cov[X(t), X(t-u)[=ixx(-u).
Из (5.2.4) следует, что рхх(и) = рхх(—и). Следовательно, как ковариационная, так и корреляционная функции являются четными функциями от запаздывания и. Поэтому их нужно вычислять лишь для неотрицательных и. Свойство 3.
|рхх(и)|^1 для всех и.
Это можно получить из того факта, что дисперсия случайной величины
Y = \X{t) + -k2X(t + u)
неотрицательна, с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в разд. 3.2.4.
Свойство 4. Корреляционная матрица является положительно полуопределенной, т. е. определитель
1 Рхх ('г-M Рхх ('а -',) ¦•• РххС»-'.)
Pxx(*2-'i) 1 РххСа-'г) •• • Рхх('«-'2)
Рхх С» - M Рхх С» - У Рхх (<„ -h) ¦¦¦ 1
и все его главные миноры неотрицательны. Этот результат является более общим, чем свойство 3. Он следует из того, что дисперсия случайной величины
Y = I1X(I1)+ . . . +KX(Q
7 Заказ Ns I2IO
194
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
неотрицательна. Из свойства 4 вытекает, что корреляции стационарного процесса не могут быть произвольными, но должны удов-, летворять некоторым соотношениям. Заметим, что при п = 2 свойство 4 сводится к свойству 3. Свойство 4 положительной полуопределенности приводит к понятию спектра мощности процесса, которое будет обсуждаться подробнее в гл. 6 и 11.
Свойство 5. Если случайный процесс является непрерывным, то f>xx(u) должна быть непрерывной функцией от запаздывания и. Это условие непрерывности требуется для того, чтобы можно было построить разумную математическую теорию для непрерывного времени. На самом деле достаточно потребовать лишь, чтобы Рхх(и) была непрерывной при и = 0, так как из этого вытекает непрерывность во всех других точках.
Белый шум. Одно из следствий свойства 5 состоит в том, что невозможно определить непрерывный по времени случайный процесс, являющийся аналогом чисто случайного процесса с дискретным временем, введенного в разд. 5.1.3. Для такого непрерывного случайного процесса потребовалось бы, чтобы pzz(0) = l и Pzz(u) = 0 при «=^0, но такая корреляционная функция была бы разрывной при « = 0.
Один выход из этой трудности заключается в том, чтобы определить чисто случайный процесс для непрерывного времени, или белый шум, как процесс, который состоит целиком из некоррелированных смежных импульсов. Таким образом, его ковариационная функция будет равна
