Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Процесс авторегрессии первого порядка иногда называют марковским процессом первого порядка. Это обусловлено тем, что случайная величина Xt при фиксированной Xt-i не зависит от Предшествующих ВеЛИЧИН Xt-2, XtS и т. д. Из (5.2.26) видно, что
если Zt — нормальный процесс со средним значением 0 и
202
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
дисперсией а|, то условная плотность вероятности fx(t)\xy-i)(xt,
xt-i) является нормальной со средним значением aiXt-t и дисперсией ог?.
Непрерывные процессы второго порядка. Непрерывный процесс авторегрессии второго порядка можно записать в виде
^ -?-' + *i 4г + I* W - M = ? (0- (5.2.28)
Можно различать два типа процессов второго порядка. В случае, если характеристическое уравнение a2p2+aip+\ = 0 имеет вещественные корни лі=1/Гі и я2 = 1/7? уравнение (5.2.28) можно записать в виде
T1T2 ™--(Тх + T2) + [X (t) - (х] = Z (t). (5.2.29)
Если же корни характеристического уравнения комплексны яі = = (o„ej9, п2 = а>пе~ів, то процесс второго порядка можно записать в виде
я
где ? = cos 8. Процессы (5.2.29), (5.2.30) можно рассматривать как выходы линейных систем второго порядка, на вход которых подается белый шум. Например, процесс (5.2.30) соответствует системе второго порядка (2.3.8) из гл. 2, где вход состоит из непрерывной последовательности случайных импульсов. Отсюда выход X (t) является непрерывной искаженной периодической функцией. Для того чтобы (5.2.30) имело смысл, необходимо принять, что изменения Z(t) создают разрывные изменения ускорения выхода X(t).
Дискретные процессы второго порядка. Для дискретного времени процесс авторегрессии второго порядка имеет вид
X1-P = CL1(X1^-V) + Ч(Xt^2-V) +Zt. (5.2.31)
Моделью (5.2.31) пользовался в 1921 г. математик Юл. Он утверждал, что при Zt = O в (5.2.31) эта модель описывает поведение простого маятника, демпфированного сопротивлением воздуха, пропорциональным его скорости. Если Zt является чисто случайным процессом, то маятник подвергается случайным толчкам через равные промежутки времени. Вместо затухающих колебаний маятник теперь совершает возмущенное периодическое движение.
На рис. 5.9 показан ряд из 40 членов, полученный по схеме дискретного процесса авторегрессии второго порядка (5.2.31) при ссі=1,0 и OC2 = —0,5. Видно, что рад имеет определенную периоди-
5-2. Корреляционная и ковариационная функции
203
ческую структуру. Однако период и фазы постоянно изменяются благодаря воздействию случайной компоненты Zt.
Процесс (5.2.31) можно рассматривать как выход дискретной линейной системы, на вход которой подается чисто случайный про-
Зг
1,0
0,5
Hi
10
20
30
-0,5і-
P и с. 5.9. Выборка процесса авторегрессии второго порядка и теоретическая корреляционная функция.
цесс Zt. Функция отклика этой системы на единичный импульс была введена в разд. 2.3.5. Она равна
и 1
"=1 — л2
для случая а2^—4а2. Если а2 <—4а2, то
Rk [sin 2¦Kf0 (?+1)]
(5.2.32)
204
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
где ni = Rei2"h, nz = Re~i2nU. В гл. 2 было показано также, что для стационарности Xt нужно, чтобы параметры cxi и а2 из (5.2.31) лежали в треугольной области
а, — а2>> —1, -1<а2<1. (5.2.34)
Корреляционные функции. Используя (5.2.10) и отклики на единичный импульс, приведенные в табл. 2.6, получаем корреляционную функцию непрерывного процесса (5.2.29):
Рхх (") = —-Т7=Т7-• (5-2-35)
Аналогично получаем корреляционную функцию непрерывного про цесса (5.2.30):
g-CV"Uin((On/b^C2 I и I + <р)
Рхх(и) = е " ""7/JLiZ-^1»1-1- ^ , (5.2.36)
где ф = arcsin yi — X2.
Корреляционную функцию дискретного процесса (5.2.31) можно получить из (5.2.32) и (5.2.17). Для случая действительных корней она имеет вид
РуШ = А , 1 w1 .Г-(5.2.37)
rXXv 7 (Ti1 — Jt2) (1 + H1It2) v '
и для комплексных корней
= Rl *'cos (2,/ofe -уо) , (5_2>38)
rxx v ' cos tpo
Коэффициент затухания частота fo и фаза фо в (5.2.38) даются выражениями
COS 2тс/0 = а,/(2 1/ - а2),
Для ряда, изображенного на рис. 5.9, где ai=l,0 и а2 = —0,5, коэффициент затухания # = 0,71, частота /о = 0,125 и фаза фо=18°30'. Корреляционная функция этого ряда построена под самим рядом на рис. 5.9. Видно, что она затухает очень быстро.
Из-за большого разнообразия корреляционных функций, порождаемых процессами авторегрессии, они находят широкое применение в качестве моделей для анализа стационарных временных рядов. Задача оценивания параметров процессов авторегрессии будет обсуждена в разд. 5.4.
5.2. Корреляционная и ковариационная функции
205
5.2.5. Общие процессы скользящего среднего — авторегрессии
Этот раздел содержит краткую сводку наиболее важных свойств процессов авторегрессии и скользящего среднего. Общий процесс авторегрессии порядка т для дискретного времени порождается чисто случайным процессом Zt с помощью разностного уравнения
(X, - у) = CL1(X^1 — р) + a.2(Xt_2 — р) + . . .
• • • + <*„ +Z,. (5.2.39)
Для непрерывного времени общий процесс авторегрессии определяется как выход линейного фильтра, на вход которого подается белый шум, а соотношение между входом и выходом определяется дифференциальным уравнением
