Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 1" -> 67

Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 1 — М.: Мир, 1971. — 317 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt11971.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 94 >> Следующая

Таким образом, суу(к) можно получить с помощью простой операции линейной фильтрации, примененной к cxx(k). В качестве примера для фильтра первых разностей yt = Xt — xt-i имеем
суу (к)» -схх{к - 1) + 2схх (к) - схх (к + 1). (5.3.30)
Так что выборочные ковариации cyy(k) первых разностей, взятых от исходных данных, равны центральным вторым разностям от выборочных ковариации cxx(k). Для операции фильтрации
yt — xt — axt_x — bxt_2, (5.3.31)
которая может быть применена для устранения осциллирующих компонент временного ряда, выборочные ковариации cyy(k) равны
суу(к)«(1 + а2 + Ь2) схх(к) -а{\-Ь) \схх(к - 1) + сХх{к + 1)] -
-b\cxx(k-2) + cxx(k + 2)\. (5.3.32)
Оценивание корреляционной функции. Иногда требуется сравнить два временных ряда, масштабы измерения которых могут быть различными, так что больше подходят выборочные оценки корреляционных, а не ковариационных функций. Выборочные оценки корреляционных функций можно получить, разделив рассмотренные выше выборочные оценки ковариации на выборочную оценку дисперсии. Таким образом, получаем
г«<*)=-ййЬ (5-3-33)
где cxx(k) определяются равенствами (5.3.25).
Еще одна выборочная оценка корреляций. Другой выборочной оценкой корреляционной функции, часто используемой статистиками, является
2 (xf — Jf,) {xfA k — X2)
r-(k)- [S(x,-x72(x<+l-^]v. ¦ (5-3-34>
где Xi и хч — средние значения первых W — k и последних N — k наблюдений соответственно, а суммирование происходит от г=1 до t = N — k. Равенство (5.3.34) основано на диаграмме разброса пар (xt, Xt+h) для /=1, 2, ..., N — к. Рис. 5.5, например, соответствует случаю A = 1. Если предположить, что совместная плотность вероятности случайных величин Xt и Xt+k есть двумерная нормальная плотность с коэффициентом корреляции рхх (к), то (5.3.34)
5.3. Оценивание ковариационных функций
223
является выборочной оценкой максимального правдоподобия для Pxx{k) *).
Пользоваться оценкой (5.3.4) не рекомендуется на том основании, что хотя для отдельного значения корреляционной функции Pxx{k), рассматриваемого изолированно от других значений, она и является разумной выборочной оценкой, но ее нежелательно применять в случае, когда нужна совокупность выборочных оценок гхх(\), гхх(2), rxx(m) для первых m корреляций рХл-(1), р.хх(2), ..., рхх(ш).
Основной недостаток (5.3.34) состоит в том, что для коррекции среднего значения она использует две величины, которые зависят от запаздывания: в результате с изменением запаздывания k меняется нормирующий множитель. Эти изменения приводят к тому, что выборочные оценки не являются положительно определенными в смысле свойства 4 из разд. 5.2.1. Это может привести к нежелательному поведению выборочных оценок спектра, которые будут рассмотрены ниже.
5.3.5. Практические аспекты оценивания ковариационных функций
В разд. 5.1.5 было указано, почему нужно изучать ковариационные функции: во-первых, они входят в уравнения для синтеза линейных систем и, во-вторых, их можно использовать при оценивании функций отклика на единичный импульс. С более общей статистической точки зрения одна из важных причин изучения временных рядов заключается в том, чтобы дать возможность построить модель для лежащего в основе явления случайного процесса. Эту модель можно затем использовать для прогноза, синтеза систем или для других целей, таких, как имитация систем. В таких случаях эмпирический анализ ковариационной функции или спектра может дать полезные наводящие идеи относительно T5OrO, какие модели должны были бы соответствовать временному ряду.
Пример. Чтобы проиллюстрировать, как можно использовать корреляционную функцию для того, чтобы в сжатом виде выразить информацию, содержащуюся в исходном ряде, рассмотрим выборочную оценку корреляционной функции для данных о партиях продукта, приведенных на рис. 5.2. Первые пятнадцать значений этой оценки, полученные по формулам (5.3.33) и (5.3.25), даны в табл. 5.2; их график построен на рис. 5.6. Из табл. 5.2 видно, что корреляции меняют знак. Это является следствием того, что за высоким выходом продукта в одной партии следует, как правило,
*) Строго говоря, для этого нужно было бы еще потребовать, чтобы пары (Xt, Xt+h) были независимы при разных t. — Прим. перев.
224
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
пониженный выход продукта в следующей партии, и наоборот. Видно также, что корреляции почти полностью затухают, начиная с запаздывания, равного 6, и показывают последовательное ослабление зависимости между наблюдениями при увеличении запаздывания между ними.
Таблица 5.2
Первые 15 значений выборочной корреляционной функции для данных из табл. 5. (
* ft тхх (ft) к
1 -0,39 6 -0,05 11 0,11
2 0,30 7 0,04 12 -0,07
3 -0,17 8 -0,04 13 0,15
4 0,07 9 -0,01 14 0,04
5 —0,10 10 0,01 15 -0,01
Основной механизм, порождающий этот вид корреляционной функции, хорошо известен для приведенных данных. Промышленная установка, на которой были получены наблюдения, представляла собой дистилляционную колонку, где содержимое перегонного куба подогревалось в течение некоторого времени, и продукт перегонки накапливался и сцеживался. Во время перегонки дегтеобразные остатки скапливаются в перегонном кубе и сцеживаются в конце каждой партии. Однако это сцеживание не является полным, так что некоторое количество дегтеобразного вещества остается в перегонном кубе. Это оказывает неблагоприятное действие на выход продукта в следующей партии, так что производится меньше продукта перегонки и, следовательно, меньше остается дегтеобразных веществ. Этим объясняется отрицательная корреляция между партиями.
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 94 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed