Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
X(t) = \ Z(v) dv (5.2.21)
или же
'2
X(Q-X(It1)= I Z(v)dv.
Если X(t)—непрерывный процесс с некоррелированными приращениями, то Е[(Х(І2)—X(ti)) (X(ti)—X(t3))] будет равно нулю для неперекрывающихся интервалов (tu h) и (гз, 4). Если же интервалы перекрываются следующим образом:
то, записав
X C2) - X (/,) = X (t2) - X (t3) + X (t3) - X (tt) X (t4) - X (t3) = X (U) - X (t2) + X (t2) - X (t3),
получим
E \[X(t2) -X(t,)\ [X(Q - ХШ =E [[X(t2) -X(t3)}%
Можно показать далее [6], что это математическое ожидание должно иметь вид o2z\t2—?з| для любого разумного процесса с некоррелированными приращениями *).
Рассмотрим теперь производный процесс Y(J)— X(t + x)-X(t)
Из (5.2.11) при фиксированном т получаем, что ковариационная функция процесса Y(t) равна
(О, |«1>х,
Туу(и)= 4 . (5.2.22)
._ (^2-C-M). 1«|<*.
*' Точнее, с некоррелированными стационарными приращениями.—Прим,
перев.
5.2. Корреляционная и ковариационная функции
199
Если т->0, то ухх(и) стремится к а2, 6 (и) — ковариационной
функции белого шума. Следовательно, белый шум можно представлять себе как несобственный случайный процесс, являющийся
производной X(t) процесса с некоррелированными приращениями.
Если в дополнение к этому разность X(t + x) —X(t) распределена по нормальному закону со средним значением тц. и дисперсией то2,, то Y(t) будет нормальным, или гауссовским, белым
шумом, состоящим из некоррелированных импульсов, площадь которых имеет среднее значение и. и дисперсию o2z. Этот процесс
был использован Винером и другими для описания броуновского движения частицы, которая находится во взвешенном состоянии в некоторой среде и испытывает случайные соударения с частицами среды.
5.2.3. Процесс скользящего среднего конечного порядка
Предположим, что веса hh линейного процесса (5.2.7) равны нулю при k>l, т. е.
Xt-p = h0Zt + hlZt_1+ ... +H1Z^1. (5.2.23)
Тогда если Zt — чисто случайный процесс, то Xt называется процессом скользящего среднего конечного порядка /.
Процессы скользящего среднего конечного порядка полезны во многих областях, например при прогнозе поведения эконометри-ческих систем и систем управления. Однако наиболее полезны они в сочетании с процессами авторегрессии, которые будут введены в следующем разделе. Из (5.2.17) получаем, что ковариационная функция процесса скользящего среднего конечного порядка (5.2.23) равна нулю при k>l. Рассмотрим, например, процесс скользящего среднего второго порядка:
X1-P = Z, + 0,5Z^1 + 0,5Z,_2.
Из (5.2.17) получаем, что ковариационная функция процесса Xt равна
Тхх (°) = 411+ (°>5)2 + (°'5)2] = 1 '504 ,
Тхх (1) = 4 [1 (0,5) + (0,5)2] = 0,754, Тхх (2) = 4 [1(0,5)] =0,54,
W^=0- k>3-
Отсюда корреляционная функция равна
' 1, k = 0,
Pxx(b) =
0,5, k = 1, 0,333, k = 2, 0, k>3.
200
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
Примером непрерывного процесса скользящего среднего конечного порядка является процесс Y(t), использованный при выводе процесса Башелье—Винера, для которого ковариационная функция (5.2.22) равна нулю при |ы|>т.
5.2.4. Процессы авторегрессии
Непрерывный процесс первого порядка. Рассмотрим линейную систему первого порядка, описываемую дифференциальным уравнением вида (2.3.2), а именно
7"-^-+ *(*) = *(*),
где z (г)—вход системы, a x(t)—ее выход. Если в эту систему вводится белый шум Z (t), то выход X (і) будет линейным процессом (5.2.6) с h(v) = (l/Т) ехр {—v/T}. Процесс X(t), определяемый уравнением
+ Iх W -v\=z (<)• (5-2-24)
называется процессом авторегрессии первого порядка. Из (5.2.11) следует, что корреляционная функция выхода равна
Рхх(й) = г-|и,/Г. (5.2.25)
Условие устойчивости (5.2.12) требует, чтобы временная константа T была положительной. Это является также условием того, что процесс X (t) —стационарный, а его дисперсия конечна.
Дискретный процесс первого порядка. Дискретный процесс авторегрессии первого порядка получается из чисто случайного процесса Zt с помощью уравнения
X,- V = <*i(Xt-i — V-) + Zf (5.2.26)
Используя г-преобразование, (5.2.26) можно записать в виде
(1 -,I1Z-1HX1-U = Z,.
Следовательно,
{X1 - [x) = -, ) Zt = Z1 + + ^T2Z1 + ... =
= Zf + alZt_i + a2Zl_2+ ....
Используя (5.2.17), получаем отсюда, что корреляционная функция процесса авторегрессии Xt равна
PXJf(*) = «i*1. *=*Q. ±1. ±2,---- С5.2.27)
5.2. Корреляционная и ковариационная функции
201
Условие устойчивости, или стационарности, (5.2.18) сводится те-
OO
перь к условию j Ott I < 1, так как ^\hk \ = 1/(1 — I ai |).
h-0
Пример. На рис. 5.8, а показан ряд из 40 членов, полученный согласно уравнению (5.2.26) при cti = 0,9. Значения чисто случайного процесса Zt брались из таблиц независимых нормальных чисел [7]. При ai = 0,9 корреляционная функция равна pXK(k) = = (0,9)14 Эта функция становится близкой к нулю лишь при больших значениях k. Таким образом, соседние точки процесса имеют
б н о
Рис. 5.8. Выборки процессов авторегрессии первого порядка и их теоретические корреляционные функции; а) ai = +0,9; б) ai= —0,9.
большую положительную корреляцию, например $хх(\) =0,9, и плавный характер ряда отражается в плавности корреляционной функции. Ряд, показанный на рис. 5.8, б, соответствует случаю ai = —0,9. Соседние точки теперь имеют высокую отрицательную корреляцию, так как pXx(k) = (—0,9)'*', и корреляционная функция осциллирует от положительных до отрицательных значений, отражая осциллирующий характер ряда. Заметим, что непрерывный процесс авторегрессии первого порядка (5.2.24) может приводить лишь к положительным корреляциям, и поэтому он соответствует дискретному случаю ai ^ 0.
