Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
T
X = J X (t) dt.
о
Если предположить, что Z(Z)— белый шум, то для непрерывного времени выборочная оценка наименьших квадратов для функции h(u) получается с помощью минимизации интеграла от квадрата ошибки:
т т і оо уг
S = J г2 (t) dt = j Iy(t) - у - J h (и) [х (t - и) - х] du dt. (5.3.2)
О О і U )
Если быть более точным, следовало бы оценить и параметр цу, входящий в (5.1.10). Однако с высокой степенью точности он будет
равен величине у, и поэтому для облегчения изложения мы заменим ц.у на у до минимизации по функции h(u).
Ясно, что h(и) можно оценить лишь для О ^ и ^T, но на практике h(и) затухает на довольно коротком участке записи по сравнению со всей длиной. Таким образом, обычно интересуются оценкой h(u) в интервале О ^ и ^ T0, где T0 значительно меньше, чем Т. Заметим, что, хотя x(t) является реализацией случайного процесса X(t), принцип наименьших квадратов все же применим, если рассматривать x(t) как фиксированную функцию. Как отмечалось в разд. 4.4.4, знание совместного распределения случайных величин X(t) не дает ничего для оценивания п{и)*\
*> См. примечание переводчика на стр. 154. — Прим. ред.
212
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
Поступая, как и в разд. 5.1.5, величину 5 можно разложить следующим образом:
S = l[y(t)-y]2dt-2U [y(t)-y] j [х (t — и) — х] ft (и) du \ dt-\-0 о I о ]
J ( оо оо \
+ IjJ j" [х (t — и) — х] [х (t — v) — х\ h (и) h (v) du dv \ dt. о Io о J
Меняя порядок интегрирования, получаем
T со j1 т
S = j [у (t) - у]2 dt - 2Т j h (и) W j [х (t - и) - х] X
)оо со (T
du + т] j h(u) h(v) [X(t- и)-х]х
OO IO
X [х (t — V) — х] dt j du dv. (5.3.3)
Сравнивая (5.3.3) и (5.1.12), мы видим, что в (5.3.3) член т
-L$[x(t-u)-x] [y(t)-y]dt о
аналогичен в (5.1.12) члену
E [(X (t-u)- Px) (Y (t) - ру)\ = iXY (и).
Это наводит на мысль определить выборочную оценку взаимной ковариационной функции следующим образом:
т
cxy(u) = -L j [x(t~u)-x] [y(t)-y] dt, -Г<«<7\ (5.3.4) о
Аналогично выборочная оценка автоковариационной функции определяется равенством
схх(и)=-т \ [*(/)-*] [x{t + u)-x\ dt =
о
T-I и I
= -L j [х (t) - х] [х (t + u)- х] dt, —Т < и < T
о
так как x(t) = О для ^<0, t> Т.
I
5.3. Оценивание ковариационных функций
213
Равенство (5.3.3) можно переписать в следующей форме:
СО OO OO
S = Tcyy(0) — 2T § h(u)cxy(u)du+T j j cxx(и — v) h (и) h (v) dudv,
O 0 0
(5.3.6)
которая соответствует (5.1.12). Таким образом, интеграл от квадрата ошибки полностью определяется, если даны выборочные опенки ковариационных функций и отклик на единичный имнульс п(и), точно так же как среднеквадратичная ошибка определялась полностью теоретическими ковариационными функциями и откликом на единичный импульс. Заметим, однако, что, в то время как в подходе со среднеквадратичной ошибкой требовалась стационарность процесов X(t) и Y(t), метод наименьших квадратов не зависит от этого предположения. Функции X(t) и у (t) могут быть реализациями нестационарных случайных процессов.
После того как 5 выражена через выборочные оценки ковариационных функций или выборочные ковариационные функции, выборочная оценка наименьших квадратов h(u) получается с помощью вариационного исчисления, как описано в приложении П.5.1. Там
показано, что h(и) должна удовлетворять интегральному уравнению
OO
сХу(и)= j cxx(u-v)h(v)dv, и>0, (5.3.7)
— OO
которое в точности совпадает с интегральным уравнением Винера—Хопфа (5.1.13), с тем лишь отличием, что функции ухх, Уху заменены на схх, сху. Как и прежде, для физической реализуемости h(v) нужно, чтобы h(v) =0 при v<0.
5.3.2. Выборочные ковариационные функции
В предыдущем разделе мы видели, что выборочная ковариационная функция Схх(и) появилась совершенно естественно в качестве выборочной оценки теоретической ковариационной функции Ухх(и). Оценку, соответствующую (5.3.5), можно записать в виде
сХх («) =
т О,
7¦-IbI
j [X(Q-X][X (t + \u\)-X]dt, 0<|М|<7\
(5.3.8).
|и|>7\
•214
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
где явно подчеркнут тот факт, что x(t) = 0 вне (0, 7"). Другой оценкой, которая также широко используется, является
г —Iu I _ _
J [X(t)-X] [X(t + \u\)-X]dt, 0<[и|<7\
СXX (и) --
т-\,
О, \и I > Т. (5.3.9)
Оценки схх(и) и с' (и), широко использующиеся главным образом в статистических работах, выбраны по интуиции, а не из-за того, что они являются наилучшими в каком-нибудь известном смысле. Конечно, в идеальном случае при выборе оценки ковариационной функции нужно было бы выписать функцию правдоподобия наблюденного временного ряда. Дифференцируя эту функцию правдоподобия, мы получили бы систему уравнений для выборочных оценок максимального правдоподобия этих ковариации. Предполагая, что плотность вероятности нормальная, нетрудно выписать функцию правдоподобия, но, к сожалению, полученные в результате дифференцирования уравнения поддаются решению лишь с большим трудом. Таким образом, приходится пользоваться такими оценками, как схх(и) и с'хх (и), которые, как допускается
многими, основаны на интуиции. Однако эти оценки можно сравнить, пользуясь некоторым критерием, таким, как минимальная среднеквадратичная ошибка, и затем выбрать наилучшую из доступных оценок. Такой подход принят нами в следующем разделе.
