Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
6. Do ob J. L., Stochastic Processes, John Wiley, New York, 1953. (Русский перевод: Дуб Дж., Вероятностные процессы, M., ИЛ, 1956.)
7.WoIdH., Tracts for Computers, ed. К. Pearson, № 25, Cambridge, 1948.
8. B a r t 1 e 11 M. S., J. Roy. Stat. Soc, B8, 27 (1946).
9. F u 1 ter A. T., J. Electr. Contr., 4, 551 (1958).
10. Parzen E., Technometrics, 3, 167 (1961).
11. S с h a e r f M. G., Stanford Univ. Tech Rep., 12 (1964).
12. Anders on R. L., Ann. Math. Stat, 13, 1 (1942).
13. Barnard G. A., Jenkins G. M., Wins ten С. B., J. Roy. Stat. Soc, A125, 321 (1962).
ПРИЛОЖЕНИЕ П5.1 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Линейную систему h(и), дающую минимальную среднеквадратичную ошибку (5.1.12), можно найти очень просто с помощью вариационного исчисления. Мы будем предполагать, что ковариационные функции ухх{и) и ухг(и) известны для всех значений запаздывания и.
Прежде всего отметим, что (5.1.12) можно переписать в виде
OO
в IA («)] = Луу (0) - 2 J А (и) -iXY (и) du +
О
со со
+ Jj h(u)h(v)txx(u-v)dudv, (п5.1.1)
о о
так как единственной неизвестной функцией является п(и). Общий метод, используемый в вариационном исчислении, состоит в следующем. Предполагают, что ответ известен, и затем находят условия, вытекающие из того, что этот ответ правильный. Таким образом, мы предположим, что конкретная функция п(и) является именно той функцией, которая минимизирует е[а(ы)], т. е.
є [а (и)] <в[а(«)] для всех п(и)фН(и). (п5.1.2)
Далее, для любой функции h(u) = h(u) +g{u), где g{u) — произвольная функция от и, удовлетворяющая граничным условиям на
п(и), мы будем иметь є [h(u) +g(u)]>e \h(u)], если g(u) не равна тождественно нулю. Вообще если
А (и) = А (и)+ (п5.1.3)
то е[п(и)] достигает минимума, когда h(u) = h{u), т. е. при 6 = 0. Выражая это условие минимума через производные, получаем
д*[Т] = <> (* = °)- *'&(а>1 >° (* = 0). (п5.1.4)
¦250
Приложение П5-1
Подставляя в нашем частном случае в (П5.1.1) вместо h(u) выражение (П5.1.3), получаем
* [а («)] = Iyу (°) - 2 Г Г* (") + ^ (")] (и)dM +
0
+ fj[h(u) + bg (и)] [а (г.) + *g (г»)] тхх (и - V) du dv
о о
(П5.1.5)
ab
|А (я)] =--2 j" g («)txk(«) du +
о
оо оо
+ И [h(u)g(v) + g(u)h(v) + 2bg(u)g(v)\x
о о
X 7ХХ (" — 1V) du dv.
(П5.1.6)
Приравнивая 6 = 0 в (П5.1.6) и используя первое из условий (П5.1.4), получаем
O=-2Jg-(K) ixy(u)- j h(v)bx(u-v)dv
du, (П5.1.7)
поскольку ухх(и) —четная функция, как показано в разд. 5.2.1. Так как равенство (П5.1.7) должно выполняться для любой
функции g(u), то h(и) должна удовлетворять условию
OO
Ъу(") = J *HЬх(" -v)dv> и>°- (п5-1 -8)
о
Можно проверить, что вторая производная по 6 в точке Ь = 0 положительна, так что это решение действительно соответствует минимуму. Таким образом, п(и) должна удовлетворять интегральному уравнению (П5.1.8), которое называется интегральным уравнением Винера—Хопфа.
Ограничение, требующее, чтобы соотношение (П5.1.8) было верным лишь при и^О, появляется из-за условия физической реализуемости фильтра, а именно h(u) =0 при и < 0.
Моменты линейного процесса
251
ПРИЛОЖЕНИЕ П5.2 МОМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОЦЕССА
Рассмотрим общий линейный процесс (5.2.6), а именно
AT(O-I*= j h(v)Z(t-v)dv,
(П5.2.1)
где Z(t)—белый шум, обладающий следующими свойствами:
Ti[Z(O]=O,
CoV[Z(O, Z(t + u)]=v\b(u),
E [Z (0 Z (t + и,) Z (< + U2)] = 1*38 («,) S («2),
? [Z (0 Z(t + U1) Z (V) Z(v + U2)] = а| [8 (и,) 8 (и2) +
+ 8(г>-<)&(г>-* + И2-«і) +
+ 8(1.-/ + 0,)8(«-*-«,)] +
+ K4(Z) 8 (и,) 8 (V - 0 8 (« - t + U2).
Как и прежде, б («) обозначает дельта-функцию Дирака. Сейчас мы выведем младшие моменты случайного процесса X(t), считая, что процесс Z(V) обладает указанными свойствами. Из (П5.2.1) и (П5.2.2) получаем
(П5.2.2) (П5.2.3) (П5.2.4)
(П5.2.5)
j h(v)Z(t — v) dv
о
оо
= j A (v) E [Z (t - V)] dv = 0. (П5.2.6)
Аналогично из (П5.2.1) и (П5.2.3) имеем
Cov [A-(O. X(t + u)} = Cov
j h(v)Z(t- v)dv,
0
OO
j A (?') Z (t + и — v') dv'
= j j A (v) A (v') Cov [Z (< - г»),
Z« + «-«')] dvdv'
00 00
«= f J А (г») A («') 48 (я - г»' + v) dv dv' =
= a| j A(«)h(v + u) dv = чхх (и). (П5.2.7»
252
Приложение П5.2
При U = O ЭТО сводится к
OO
Var \X(t)} =4 \h2(v)dv.
о
OO
Поэтому если интеграл Г h2(v)dv конечен, то X(t) является стацио-
о
нарным процессом второго порядка, так как ковариационная функция \xx(t, t + u) зависит только от запаздывания и. Аналогично получаем
E [{X (t) - v) (X (t + щ) - v) (X (t + U1) - ix)] =
OO
= [a3 j h (v) h (v-j- U1) h (v + U2) dv (П5.2.8)
о
и
Cov [(A- (t) - V) (X (t + U1) - v). (X (V) - v) (X (V + U2) - v)\ = + lxx(v - t+ u2)ixx(v - t - U1) +
CO
+ K4 (Z) j" h (V') h (V' + U1) h(v' + v-t)X
O
Xh(v'+ V-t+ U2)Uv', (П5.2.9)
где ухх(и) дается формулой (П5.2.7). Формула (П5.2.9) использована в разд. 5.3.3 при выводе выражения для ковариации оценок ковариационной функции.
Отметим, что из (П5.2.9) следует, что четвертый кумулянт процесса X(t) равен четвертому кумулянту процесса Z(V), умноженному на интеграл от произведения четырех весовых функций, т. е.
